Operatori hermitiani
Buona sera. Ho un altro esercizio da proporvi.
Sia in $C^3$ l'operatore lineare definito dalla seguente rappresentazione matriciale:
$ (((\lambda+i)/2,0,(\lambda-i)/2),(0, i,0),((\lambda-i)/2,0,(\lambda+i)/2))$
Mi chiede di determinare per quali valori di $\lambda$ A sia hermitiano, unitario e normale. Risp. A non è hermitiana in quanto sulla diagonale non sono presenti elementi reali; è unitaria per $\lambda=+-1$. Per la normalità non so come procedere.
Calcolare per $\lambda=0$ autovalori, autovettori e corrispondenti proiettori. Risp. come autovalori trovo $\alpha=i,0$. I corrispondenti autovettori sono: (1,y,-1) (per $\alpha=i$), (1,0,1) per $\alpha=0$. Normalizzando questi autovettori trovo due proiettori ( non so come calcolare il terzo autovettore): $P_1=((1/2,0,-1/2),(0, 0,0),(-1/2,0,1/2))$; $P_2=((1/2,0,1/2),(0, 0,0),(1/2,0,1/2))$.
Adesso mi viene chiesto ( e qui spero possiate spiegarmi il procedimento) di dimostrare ( anche senza fare calcoli espliciti) che per qualunque $\lambda$, definendo gli operatori hermitiani B e C in modo che sia A=B+iC si ha che:
$e^(i\thetaA)=e^(i\thetaB)e^(-\thetaC)$
con $\theta$ parametro arbitrario reale. Calcolare esplicitamente gli operatori $e^(i\thetaB)$ e $e^(-\thetaC)$ nel caso $\lambda=0$.
Questo è quanto. Spero possiate fornirmi delle indicazioni su come procedere ( per la prima parte) e sugli operatori hermitiani possiate mostrarmi lo svolgimento. Vi ringrazio. Alex
edit: scusate se riposto in questa sezione, ma dando un'occhiata su internet, ho visto che le risposte spesso competono in questa sezione, anche se tali argomenti vengono affrontati anche in fisica.
Sia in $C^3$ l'operatore lineare definito dalla seguente rappresentazione matriciale:
$ (((\lambda+i)/2,0,(\lambda-i)/2),(0, i,0),((\lambda-i)/2,0,(\lambda+i)/2))$
Mi chiede di determinare per quali valori di $\lambda$ A sia hermitiano, unitario e normale. Risp. A non è hermitiana in quanto sulla diagonale non sono presenti elementi reali; è unitaria per $\lambda=+-1$. Per la normalità non so come procedere.
Calcolare per $\lambda=0$ autovalori, autovettori e corrispondenti proiettori. Risp. come autovalori trovo $\alpha=i,0$. I corrispondenti autovettori sono: (1,y,-1) (per $\alpha=i$), (1,0,1) per $\alpha=0$. Normalizzando questi autovettori trovo due proiettori ( non so come calcolare il terzo autovettore): $P_1=((1/2,0,-1/2),(0, 0,0),(-1/2,0,1/2))$; $P_2=((1/2,0,1/2),(0, 0,0),(1/2,0,1/2))$.
Adesso mi viene chiesto ( e qui spero possiate spiegarmi il procedimento) di dimostrare ( anche senza fare calcoli espliciti) che per qualunque $\lambda$, definendo gli operatori hermitiani B e C in modo che sia A=B+iC si ha che:
$e^(i\thetaA)=e^(i\thetaB)e^(-\thetaC)$
con $\theta$ parametro arbitrario reale. Calcolare esplicitamente gli operatori $e^(i\thetaB)$ e $e^(-\thetaC)$ nel caso $\lambda=0$.
Questo è quanto. Spero possiate fornirmi delle indicazioni su come procedere ( per la prima parte) e sugli operatori hermitiani possiate mostrarmi lo svolgimento. Vi ringrazio. Alex
edit: scusate se riposto in questa sezione, ma dando un'occhiata su internet, ho visto che le risposte spesso competono in questa sezione, anche se tali argomenti vengono affrontati anche in fisica.
Risposte
Per quanto riguarda M hermitiana e unitaria è tutto ok. Per la normalità puoi seguire la definizione: deve essere $MM^H=M^HM$. svolgi i calcoli e guarda che condizioni ti dà su $\lambda$.
(In realtà, poiché $M^T = M$, è $M^H = \bar{M}$, ma come per i numeri complessi vale $\bar{a}b=a\bar{b}$, questo vale anche per le matrici complesse: $\bar{A}B=A\bar{B}$; nel nostro caso allora M è sempre normale perché $MM^H=M\bar{M}=\bar{M}M=M^HM$. Comunque mi limiterei a fare i conti e via, sono semplici...)
Gli autovalori sono quelli, e gli autovettori relativi a 0 sono quelli non nulli di $⟨(1,0,1)⟩$ e quelli relativi a $i$ i vettori non nulli di $⟨(1,0,-1), (0,1,0)⟩$, però questi non li puoi scrivere in maniera parametrica come $(1,y,-1)$, quelli di questa forma sono sì autovettori relativi a $i$, ma non sono tutti! Per esempio $(0,1,0)$ stesso non è rappresentabile nel tuo modo: la maniera corretta di scriverli in forma parametrica è $(\mu, \lambda, -\mu)$.
(In realtà, poiché $M^T = M$, è $M^H = \bar{M}$, ma come per i numeri complessi vale $\bar{a}b=a\bar{b}$, questo vale anche per le matrici complesse: $\bar{A}B=A\bar{B}$; nel nostro caso allora M è sempre normale perché $MM^H=M\bar{M}=\bar{M}M=M^HM$. Comunque mi limiterei a fare i conti e via, sono semplici...)
Gli autovalori sono quelli, e gli autovettori relativi a 0 sono quelli non nulli di $⟨(1,0,1)⟩$ e quelli relativi a $i$ i vettori non nulli di $⟨(1,0,-1), (0,1,0)⟩$, però questi non li puoi scrivere in maniera parametrica come $(1,y,-1)$, quelli di questa forma sono sì autovettori relativi a $i$, ma non sono tutti! Per esempio $(0,1,0)$ stesso non è rappresentabile nel tuo modo: la maniera corretta di scriverli in forma parametrica è $(\mu, \lambda, -\mu)$.
grazie per la risposta. Come mai per i trovo due autovalori? Ok per la normalità =) sto svolgendo i calcoli per determinare i valori del parametro.
Per quanto riguarda l'ultimo punto, quello sugli operatori hermitiani B e C, sai come devo procedere? grazie ancora,
Alex
Per quanto riguarda l'ultimo punto, quello sugli operatori hermitiani B e C, sai come devo procedere? grazie ancora,
Alex
per i troviamo due autovettori indipendenti, è questo che importa. Quando le matrici sono reali o complesse, come hai un autovalore $\lambda$ ci sono infinti autovettori relativi a $\lambda$. Per esempio nel caso di prima gli autovettori relativi a 0 sono vettori della forma $(k,0,k)$ con $k!=0$, sono quindi infiniti. Però di autovettori relativi a 0 indipendenti ne trovi al massimo 1. Invece per i ne troviamo al massimo due. Questo è il concetto di molteplicità geometrica di un autovalore, vedi per esempio http://www.xelon.it/appunti/algebra-lineare/node27.html
Per quanto riguarda il resto sappi che non ho mai studiato l'esponenziale di matrici, quindi controlla bene il procedimento...inoltre può darsi che ci siano modi migliori per svolgere l'esercizio!
Poiché $M^T=M$, possiamo scrivere $M=A+iB$ con $A$, $B$ hermitiane semplicemente rompendo $M$ nella sua parte reale e nella sua parte immaginaria, cioè
$M = ((\lambda/2,0,\lambda/2),(0,0,0),(\lambda/2,0,\lambda/2)) + i((1/2,0,-1/2),(0,1,0),(-1/2,0,1/2))$
Del resto questo è l'unico modo, infatti se $N$ è una matrice $nxn$ complessa, con $N=A+iB$ e $N=C+iD$ dove $A$, $B$, $C$, $D$ sono hermitiane, allora $A=C$ e $B=D$:
$N^H=A^H + (iB)^H = C^H + (iD)^H = A - iB = C - iD$. Quindi $A + iB = C + iD$ e $A - iB = C - iD$, da cui sommando membro a membro otteniamo $A = C$, quindi $B = D$.
Le due matrici trovate sono diagonalizzabili ed hanno gli stessi autovettori, $(1,0,1)$, $(0,1,0)$ e $(1,0,-1)$ (sì, sono sempre loro!
), quindi commutano...da quello che ho letto su wikipedia se $A$ e $B$ commutano allora $e^(A+B)=e^Ae^B$, da cui segui facilmente la tesi
se c'è qualcosa che non ti torna chiedi pure!
Per quanto riguarda il resto sappi che non ho mai studiato l'esponenziale di matrici, quindi controlla bene il procedimento...inoltre può darsi che ci siano modi migliori per svolgere l'esercizio!
Poiché $M^T=M$, possiamo scrivere $M=A+iB$ con $A$, $B$ hermitiane semplicemente rompendo $M$ nella sua parte reale e nella sua parte immaginaria, cioè
$M = ((\lambda/2,0,\lambda/2),(0,0,0),(\lambda/2,0,\lambda/2)) + i((1/2,0,-1/2),(0,1,0),(-1/2,0,1/2))$
Del resto questo è l'unico modo, infatti se $N$ è una matrice $nxn$ complessa, con $N=A+iB$ e $N=C+iD$ dove $A$, $B$, $C$, $D$ sono hermitiane, allora $A=C$ e $B=D$:
$N^H=A^H + (iB)^H = C^H + (iD)^H = A - iB = C - iD$. Quindi $A + iB = C + iD$ e $A - iB = C - iD$, da cui sommando membro a membro otteniamo $A = C$, quindi $B = D$.
Le due matrici trovate sono diagonalizzabili ed hanno gli stessi autovettori, $(1,0,1)$, $(0,1,0)$ e $(1,0,-1)$ (sì, sono sempre loro!
), quindi commutano...da quello che ho letto su wikipedia se $A$ e $B$ commutano allora $e^(A+B)=e^Ae^B$, da cui segui facilmente la tesise c'è qualcosa che non ti torna chiedi pure!
ah, ecco...dimenticavo che M è normale! Per la seconda parte basta fare così: sia $M=A+iB$ con $A$ e $B$ hermitiane. Allora, poiché M è normale si ha
$(A+iB)(A+iB)^H = (A+iB)^H(A+iB)$
$(A+iB)(A^H+(iB)^H) = (A^H+(iB)^H)(A+iB)$
$(A+iB)(A-iB) = (A-iB)(A+iB)$
$A^2-iAB+iBA+B^2 = A^2+iAB-iBA+B^2$
$-2iAB = -2iBA$
$A = B$
Ora che sai che $A$ e $B$ commutano l’esercizio dovrebbe essere facile.
$(A+iB)(A+iB)^H = (A+iB)^H(A+iB)$
$(A+iB)(A^H+(iB)^H) = (A^H+(iB)^H)(A+iB)$
$(A+iB)(A-iB) = (A-iB)(A+iB)$
$A^2-iAB+iBA+B^2 = A^2+iAB-iBA+B^2$
$-2iAB = -2iBA$
$A = B$
Ora che sai che $A$ e $B$ commutano l’esercizio dovrebbe essere facile.
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