Operatori, funzioni di matrici
Data \( \bf{\dot{x}} = A\bf{x}, \bf{x} \in \mathbb{R}^2,
A = \begin{bmatrix}
a & b \\
c & a
\end{bmatrix}, A \in M_2(\mathbb{R}) \)
Trovare $a,b,c$ tali che $U(t)$ è unitaria, ove \( \bf{x(t)} = U(t)\bf{x(0)}, \)
Io so questo:
affinché $U$ sia unitaria deve essere \( UU^{\ast} = Id \)
Inoltre so che $U(t) = e^{tA} $
Dunque devo avere che
\( e^{tA} (e^{tA})^\ast = Id \)
Non so bene come trattare questo termine $(e^{tA})^\ast $
Ho provato a scrivermi $e^{tA} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{t^k}{k!}A^k$. Ma non sono arrivato praticamente a nulla.
L'unica via forse è trovare una decomposizione adatta di quella matrice (diagonale, ma chi mi assicura che sia diagonalizzabile?). In questa maniera mi verrebbe più semplice lavorare con trasposizione e coniugazione.
Se qualcuno ha voglia di darmi una mano, gliene sarei molto grato
Aggiornamento:
ho trovato una proposizione che mi dice che se $A$ è una matrice hermitiana, $\alpha \in RR$, allora
$e^{i \alpha A}$ è unitario. Nel mio caso manca l'unità immaginaria, però se riuscissi ad estendere questo risultato al mio caso mi basterebbe richiedere che la mia matrice $A$ sia hermitiana, e siccome quella del problema è una matrice a coefficienti reali, dovrei richiedere che essa sia simmetrica da cui otterrei:
$b = c$. Sono andato a controllare le soluzioni del professore per vedere se questa fosse una strada che mi portasse alla soluzione, ma nelle soluzioni ho trovato invece:
$a = 0, b = -c $. Non ho la minima idea da dove le tiri fuori sinceramente
A = \begin{bmatrix}
a & b \\
c & a
\end{bmatrix}, A \in M_2(\mathbb{R}) \)
Trovare $a,b,c$ tali che $U(t)$ è unitaria, ove \( \bf{x(t)} = U(t)\bf{x(0)}, \)
Io so questo:
affinché $U$ sia unitaria deve essere \( UU^{\ast} = Id \)
Inoltre so che $U(t) = e^{tA} $
Dunque devo avere che
\( e^{tA} (e^{tA})^\ast = Id \)
Non so bene come trattare questo termine $(e^{tA})^\ast $
Ho provato a scrivermi $e^{tA} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{t^k}{k!}A^k$. Ma non sono arrivato praticamente a nulla.
L'unica via forse è trovare una decomposizione adatta di quella matrice (diagonale, ma chi mi assicura che sia diagonalizzabile?). In questa maniera mi verrebbe più semplice lavorare con trasposizione e coniugazione.
Se qualcuno ha voglia di darmi una mano, gliene sarei molto grato
Aggiornamento:
ho trovato una proposizione che mi dice che se $A$ è una matrice hermitiana, $\alpha \in RR$, allora
$e^{i \alpha A}$ è unitario. Nel mio caso manca l'unità immaginaria, però se riuscissi ad estendere questo risultato al mio caso mi basterebbe richiedere che la mia matrice $A$ sia hermitiana, e siccome quella del problema è una matrice a coefficienti reali, dovrei richiedere che essa sia simmetrica da cui otterrei:
$b = c$. Sono andato a controllare le soluzioni del professore per vedere se questa fosse una strada che mi portasse alla soluzione, ma nelle soluzioni ho trovato invece:
$a = 0, b = -c $. Non ho la minima idea da dove le tiri fuori sinceramente
Risposte
C'è un piccolo errore: \(M\in\mathbb{R}_2^2\)...
Suggerimento: provare a che la soluzione è liscia?
Suggerimento: provare a che la soluzione è liscia?
Io intendo con la notazione $M_n(\RR)$ una qualsiasi matrice quadrata a coefficienti nel campo reale? Non dovrebbe essere corretto?
Per quanto riguarda il tuo suggerimento, sarò sincero: non ho la più pallida idea di cosa ciò significhi, probabilmente è un ottimo suggerimento ma con le mie conoscenze matematiche non so interpretarlo (Avviso: questo non è un corso di equazioni differenziali di matematica, ma di metodi e modelli matematici, ovvero è qualcosa di molto più barbaro e grezzo, non abbiamo praticamente dimostrato nulla finora). Ah e ho corretto la soluzione che avevo scritto. Comunque il professore mi ha detto che in effetti mi basta sfruttare quella proposizione che ho riportato e si arriva alle soluzioni (come avevo supposto). Quindi ho semplicemente moltiplicato e diviso per $i$ l'esponente e ho trovato che:
$e^{itA/i} = e^{it(-iA)} = e^{itC}, C = -iA$ e ho richiesto che $C$ sia autoaggiunta. Lo so è una soluzione animalesca però il prof mi ha detto che è corretto
(in realtà non stava prestando troppa attenzione hahaha forse voleva liquidarmi in fretta per iniziare a spiegare). Altre soluzioni sono ben accette ovviamente
Per quanto riguarda il tuo suggerimento, sarò sincero: non ho la più pallida idea di cosa ciò significhi, probabilmente è un ottimo suggerimento ma con le mie conoscenze matematiche non so interpretarlo (Avviso: questo non è un corso di equazioni differenziali di matematica, ma di metodi e modelli matematici, ovvero è qualcosa di molto più barbaro e grezzo, non abbiamo praticamente dimostrato nulla finora). Ah e ho corretto la soluzione che avevo scritto. Comunque il professore mi ha detto che in effetti mi basta sfruttare quella proposizione che ho riportato e si arriva alle soluzioni (come avevo supposto). Quindi ho semplicemente moltiplicato e diviso per $i$ l'esponente e ho trovato che:
$e^{itA/i} = e^{it(-iA)} = e^{itC}, C = -iA$ e ho richiesto che $C$ sia autoaggiunta. Lo so è una soluzione animalesca però il prof mi ha detto che è corretto
(in realtà non stava prestando troppa attenzione hahaha forse voleva liquidarmi in fretta per iniziare a spiegare). Altre soluzioni sono ben accette ovviamente
"SteezyMenchi":Cioè quello che non sai è a cosa è uguale l'esponenziale di $A$ (tra l'altro, l'indice di sommatoria per te non è $k$, ma $n$...)? E' semplice: \(A=a \mathbf{1}_2 + B\) dove \(B=\left(\begin{smallmatrix}
Ho provato a scrivermi $e^{tA} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n!}A^n$.
0 & b \\
c & 0
\end{smallmatrix}\right)\), e dato che $B$ commuta (ovviamente!) con la matrice identica \(2\times 2\), espandere il binomio \(A^n=(a\mathbf{1}_2+B)^n\) nell'anello \(M_2(\mathbb R)\) è la stessa cosa che farlo nel sottoanello generato da \(\{\mathbf 1,B\}\), che è commutativo. Del resto, in ogni anello commutativo, \((a\cdot 1+B)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk a^{n-k}B^k\), col che
\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n!}A^n=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n!}\sum_{r=0}^n\binom nr a^{n-r}B^r=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a^nt^n}{n!}\sum_{r=0}^n\binom nr (B/a)^r\]
A questo punto dato che $B$ è antidiagonale, soddisfa delle relazioni di ricorrenza (tutte le sue potenze pari $B^{2k}$ sono uguali a \(\left(\begin{smallmatrix}
b^kc^k & 0 \\
0 & b^k & c^k
\end{smallmatrix}\right)\); tutte le sue potenze dispari $B^{2k+1}$ sono uguali a \(\left(\begin{smallmatrix}
0 & b^{k+1}c^k \\
b^kc^{k+1} & 0
\end{smallmatrix}\right)\)) con le quali rompere la sommatoria in due pezzi...
Ti propongo la seguente soluzione in termini di T. di Laplace. Applicandola al sistema in esame si ottiene:
$((s-a,-b),(-c, s-a)) x=x(0)$
da cui la soluzione:
$x=(((s-a)/(P(s)), b/(P(s))),(c/(P(s)), (s-a)/(P(s))))x(0)$
dove $P(s) = (s-a)^2-bc$ è il polinomio caratteristico.
Ora se moltiplicando U(t) per la sua trasposta coniugata i termini non diagonali sono nulli lo stesso varrà per U(s). Si noti inoltre che essendo U(t) reale la sua trasposta coniugata è semplicemente la trasposta e quindi si ottiene per il numeratore del termine non diagonale
$(s-a)c + b(s-a)=(b + c)(s-a)$ che è nullo per qualsiasi s solo per b=-c.
Utilizziamo questo risultato per anti-trasformare ottenendo esplicitamente U(t).
$x(t) =((e^(at)cos(bt),e^(at)sin(bt)),(-e^(at)sin(bt), e^(at)cos(bt))) x(0)$
da cui risulta facilmente che $U(t)*U(t)^t=Id$ solo se a=0.
$((s-a,-b),(-c, s-a)) x=x(0)$
da cui la soluzione:
$x=(((s-a)/(P(s)), b/(P(s))),(c/(P(s)), (s-a)/(P(s))))x(0)$
dove $P(s) = (s-a)^2-bc$ è il polinomio caratteristico.
Ora se moltiplicando U(t) per la sua trasposta coniugata i termini non diagonali sono nulli lo stesso varrà per U(s). Si noti inoltre che essendo U(t) reale la sua trasposta coniugata è semplicemente la trasposta e quindi si ottiene per il numeratore del termine non diagonale
$(s-a)c + b(s-a)=(b + c)(s-a)$ che è nullo per qualsiasi s solo per b=-c.
Utilizziamo questo risultato per anti-trasformare ottenendo esplicitamente U(t).
$x(t) =((e^(at)cos(bt),e^(at)sin(bt)),(-e^(at)sin(bt), e^(at)cos(bt))) x(0)$
da cui risulta facilmente che $U(t)*U(t)^t=Id$ solo se a=0.
"SteezyMenchi":Quasi: stai considerando le matrici di ordine \(2\), non di ordine qualsiasi.
Io intendo con la notazione $M_n(\RR)$ una qualsiasi matrice quadrata a coefficienti nel campo reale? Non dovrebbe essere corretto? [...]
Ingres purtroppo non ho studiato la trasformata di Laplace. Ti ringrazio comunque per la risposta, tanto volevo studiarla per conto mio quest'estate. ritornerò alla tua soluzione, me la sono annotata.
Megas, ti informerò su eventuali svolgimenti, la tua parte di soluzione è davvero bella a vedersi e a leggersi. I miei complimenti. Appena risolvo lo scriverò qui. Grazie mille ad entrambi.
P.S. non mi fa modificare il messaggio iniziale, volevo correggere l'indice di sommatoria sbagliato e usare la notazione di j18eos. Se un moderatore lo potesse fare al posto mio mi farebbe un gran favore
Megas, ti informerò su eventuali svolgimenti, la tua parte di soluzione è davvero bella a vedersi e a leggersi. I miei complimenti. Appena risolvo lo scriverò qui. Grazie mille ad entrambi.
P.S. non mi fa modificare il messaggio iniziale, volevo correggere l'indice di sommatoria sbagliato e usare la notazione di j18eos. Se un moderatore lo potesse fare al posto mio mi farebbe un gran favore
In effetti aprire le sommatorie è veramente stupido, diffidare sempre dei conti fatti sul retro della carta igienica (usata).
Una volta notato che \(A=a\cdot\mathbf 1 + B\), \(e^{tA}=e^{at}e^{tB}\) e hai finito se sai trovare \(e^{tB}\); del resto ora $B$ è la matrice detta sopra, che soddisfa la ricorrenza detta sopra, e quindi ricordarti l'espansione in serie delle funzioni trigonometriche ti dà la stessa risposta che ti ha dato il violino di Ingres.
Una volta notato che \(A=a\cdot\mathbf 1 + B\), \(e^{tA}=e^{at}e^{tB}\) e hai finito se sai trovare \(e^{tB}\); del resto ora $B$ è la matrice detta sopra, che soddisfa la ricorrenza detta sopra, e quindi ricordarti l'espansione in serie delle funzioni trigonometriche ti dà la stessa risposta che ti ha dato il violino di Ingres.
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