Operatori autoaggiunti e unitari
Salve a tutti, avrei un problema a risolvere due esercizi presi dalle mie dispense di metodi e modelli.
Sia ${e_1, ..., e_n}$ base ortonormale di $\CC^n$. Sia $U = [e_1 ... e_n]$ una matrice.
Mostrare che \( \begin{align} U^{-1} &= \begin{bmatrix}
e_{1}^{\ast}\\
e_{2}^{\ast} \\
\vdots \\
e_{n}^{\ast}
\end{bmatrix}
\end{align} \)
e mostrare che data una base qualunque ${e_1, ..., e_n}$ allora se $U$ è definita come la matrice dei vettori colonna di tale base allora $U^{-1}U = \mathcal{I}$ è equivalente alle condizioni di ortonormalità.
Allora la prima richiesta non ho idea di cosa si debba fare per dimostrare che quella è l'inversa di $U$, apparte vedere che la moltiplicazione tra matrici darebbe una matrice le cui entrate diagonali sono tutti prodotti scalari $\langle e_i, e_i \rangle$ e dunque tutti uguali ad $1$ perché si tratta di vettori unitari. Al di fuori della diagonale ottengo prodotti scalari con indice diversi e dunque nulli per l'ortogonalità.
La seconda è equivalente alla prima. Alla fine ottengo una matrice del tipo
$|(\langle e_1, e_i \rangle,...,\langle e_1, e_n \rangle),(...,\langle e_2, e_2 \rangle,...), (\langle e_n e_1 \rangle, ...., \langle e_n, e_n \rangle)| = \mathcal{I}$. Da cui si ha che deve valere:
$\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{i,j} $
equivalente, in forma matriciale a:
\( e_i^{\ast} e_j = \delta_{i,j} \)
ovvero la condizione di ortnormalità dei vettori. Questo procedimento mi sembra troppo lungo tuttavia, perciò vorrei capire se ci sono strade più veloci.
Il secondo esercizio invece non ho idea di come farlo:
Dato un insieme ortonormale ${e_1,...,e_N}$ e definito l'operatore proiettore ortogonale $\mathcal{P} = \sum_{1}^{N}\langle e_i, \* \rangle e_i $, Mostrare che esso è rappresentato dalla matrice \( P = \sum_{i=1}^{N} e_i e_i^{\ast} \).
Il problema è che il prodotto tra matrici nella sommatoria non credo sia ben definito. Non capisco come sia possibile scriverlo in quella maniera sinceramente.
In attesa di un qualche aiuto, ringrazio anticipatamente chi vorrà rispondere
Sia ${e_1, ..., e_n}$ base ortonormale di $\CC^n$. Sia $U = [e_1 ... e_n]$ una matrice.
Mostrare che \( \begin{align} U^{-1} &= \begin{bmatrix}
e_{1}^{\ast}\\
e_{2}^{\ast} \\
\vdots \\
e_{n}^{\ast}
\end{bmatrix}
\end{align} \)
e mostrare che data una base qualunque ${e_1, ..., e_n}$ allora se $U$ è definita come la matrice dei vettori colonna di tale base allora $U^{-1}U = \mathcal{I}$ è equivalente alle condizioni di ortonormalità.
Allora la prima richiesta non ho idea di cosa si debba fare per dimostrare che quella è l'inversa di $U$, apparte vedere che la moltiplicazione tra matrici darebbe una matrice le cui entrate diagonali sono tutti prodotti scalari $\langle e_i, e_i \rangle$ e dunque tutti uguali ad $1$ perché si tratta di vettori unitari. Al di fuori della diagonale ottengo prodotti scalari con indice diversi e dunque nulli per l'ortogonalità.
La seconda è equivalente alla prima. Alla fine ottengo una matrice del tipo
$|(\langle e_1, e_i \rangle,...,\langle e_1, e_n \rangle),(...,\langle e_2, e_2 \rangle,...), (\langle e_n e_1 \rangle, ...., \langle e_n, e_n \rangle)| = \mathcal{I}$. Da cui si ha che deve valere:
$\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{i,j} $
equivalente, in forma matriciale a:
\( e_i^{\ast} e_j = \delta_{i,j} \)
ovvero la condizione di ortnormalità dei vettori. Questo procedimento mi sembra troppo lungo tuttavia, perciò vorrei capire se ci sono strade più veloci.
Il secondo esercizio invece non ho idea di come farlo:
Dato un insieme ortonormale ${e_1,...,e_N}$ e definito l'operatore proiettore ortogonale $\mathcal{P} = \sum_{1}^{N}\langle e_i, \* \rangle e_i $, Mostrare che esso è rappresentato dalla matrice \( P = \sum_{i=1}^{N} e_i e_i^{\ast} \).
Il problema è che il prodotto tra matrici nella sommatoria non credo sia ben definito. Non capisco come sia possibile scriverlo in quella maniera sinceramente.
In attesa di un qualche aiuto, ringrazio anticipatamente chi vorrà rispondere
Risposte
"SteezyMenchi":
Il secondo esercizio invece non ho idea di come farlo ...
Solo per fare un esempio, in $RR^2$:
$[[sqrt2/2],[sqrt2/2]]*[[sqrt2/2,sqrt2/2]]=[[1/2,1/2],[1/2,1/2]]$
$[[sqrt2/2],[-sqrt2/2]]*[[sqrt2/2,-sqrt2/2]]=[[1/2,-1/2],[-1/2,1/2]]$
sono, rispettivamente, gli operatori di proiezione sui versori:
$[[sqrt2/2],[sqrt2/2]]$
$[[sqrt2/2],[-sqrt2/2]]$
Infatti:
$det[[1/2-\lambda,1/2],[1/2,1/2-\lambda]]=0 rarr (1/2-\lambda)^2-1/4=0 rarr \lambda^2-\lambda=0 rarr \lambda=0 vv \lambda=1$
$det[[1/2-\lambda,-1/2],[-1/2,1/2-\lambda]]=0 rarr (1/2-\lambda)^2-1/4=0 rarr \lambda^2-\lambda=0 rarr \lambda=0 vv \lambda=1$
$[[1/2,1/2],[1/2,1/2]]+[[1/2,-1/2],[-1/2,1/2]]=[[1,0],[0,1]]$
In pratica hai preso una base ortonormale di $\RR^2$ e ti sei calcolato le matrici associate ai due operatori di proiezione su tali versori tramite la relazione che ho riportato sopra. Poi hai mostrato che la somma di tali matrici è proprio l'identità, ovvero hai mostrato che data una base ortonormale ${e_1,..e_n}$ di $V$ di $dim = n$, allora si ha che
$sum_{i}^{n}\mathcal{P}_{e_k} = \mathcal{I}$
Ovvero, la somma di tutti gli operatori di proiezione per una base ortonormale agisce come l'operatore identità (il significato fisico è abbastanza evidente). Unica domanda: perché ti sei calcolato gli autovalori delle matrici associate? Non capisco se volevi mostrare che esse hanno sempre autovalori $0,1$. Le dispense non riferiscono tale fatto, perciò vorrei capire se ciò è vero sempre(in $\RR^n, \CC^n$ in particolare), e in caso fosse così vorrei capire se ci fosse una ragione dietro tale fatto?
Comunque ti ringrazio per avermi fatto notare di aver mixato due esercizi diversi. Si trattava del proiettore ortogonale non del proiettore ortogonale lungo il generico vettore $v$. Mi scuso profondamente con i visitatori del forum ma non me ne ero accorto nemmeno io mentre ricopiavo. Modificherò il messaggio così da rendere tutto più chiaro.
$sum_{i}^{n}\mathcal{P}_{e_k} = \mathcal{I}$
Ovvero, la somma di tutti gli operatori di proiezione per una base ortonormale agisce come l'operatore identità (il significato fisico è abbastanza evidente). Unica domanda: perché ti sei calcolato gli autovalori delle matrici associate? Non capisco se volevi mostrare che esse hanno sempre autovalori $0,1$. Le dispense non riferiscono tale fatto, perciò vorrei capire se ciò è vero sempre(in $\RR^n, \CC^n$ in particolare), e in caso fosse così vorrei capire se ci fosse una ragione dietro tale fatto?
Comunque ti ringrazio per avermi fatto notare di aver mixato due esercizi diversi. Si trattava del proiettore ortogonale non del proiettore ortogonale lungo il generico vettore $v$. Mi scuso profondamente con i visitatori del forum ma non me ne ero accorto nemmeno io mentre ricopiavo. Modificherò il messaggio così da rendere tutto più chiaro.
Adesso mi è venuto un dubbio. Ho paura di avere in mente l'idea sbagliata. La somma degli operatori di proiezione ortogonale per una base del mio spazio agisce come l'operatore identico. Però, in generale, se prendo un semplice insieme ortogonale del mio spazio $V$, allora non è detto che il proiettore ortogonale abbia come matrice associata la matrice identica? In generale che forma avrebbe la matrice? Non credo avrebbe una struttura particolare. L'unica domanda che mi sembra interessante sarebbe calcolare gli autovalori della matrice associata al proiettore ortogonale $\mathcal{P}$.
In $RR^2$:
Hai ragione, volevo sottolineare solo questo aspetto.
In $C^2$:
$\{(a^2+b^2=1),(c^2+d^2=1),(ac+bd=0):} rarr \{(a^2+c^2=1),(b^2+d^2=1),(ab+cd=0):}$
$[[a],]*[[a,b]]=[[a^2,ab],[ab,b^2]]$
$[[c],[d]]*[[c,d]]=[[c^2,cd],[cd,d^2]]$
$[[a^2,ab],[ab,b^2]]+[[c^2,cd],[cd,d^2]]=[[a^2+c^2,ab+cd],[ab+cd,b^2+d^2]]=[[1,0],[0,1]]$
"SteezyMenchi":
... perché ti sei calcolato gli autovalori delle matrici associate? Non capisco se volevi mostrare che esse hanno sempre autovalori $0$ e $1$.
Hai ragione, volevo sottolineare solo questo aspetto.
"SteezyMenchi":
... vorrei capire se ciò è vero sempre ...
In $C^2$:
$\{(a bara+b barb=1),(c barc+d bard=1),(a barc+b bard=0):} rarr \{(a bara+c barc=1),(b barb+d bard=1),(a barb+c bard=0):}$
$[[a],]*[[bara,barb]]=[[a bara,a barb],[bara b,b barb]]$
$[[c],[d]]*[[barc,bard]]=[[c barc,c bard],[barc d,d bard]]$
$[[a bara,a barb],[bara b,b barb]]+[[c barc,c bard],[barc d,d bard]]=[[a bara+c barc,a barb+c bard],[bara b+barc d,b barb+d bard]]=[[1,0],[0,1]]$
Grazie mille Noodles. Anche per gli spunti di riflessione. Il tuo modo di dare risposte è molto efficiente per apprendere.Solo un problemino: come passi dal primo sistema al secondo in entrambi i casi. Il primo si ottiene imponendo le condizioni di ortonormalità. Il secondo non so come ottenerlo
Piuttosto che algebricamente, mediante la definizione di matrice ortogonale e matrice unitaria.
In $RR^2$, se:
è una matrice ortogonale, allora:
Quindi:
In $CC^2$, se:
è una matrice unitaria, allora:
Quindi:
Solo se la direzione lungo la quale si proietta è assegnata mediante il relativo versore, un generico vettore appartenente al complemento ortogonale è mandato nel vettore nullo (vale anche se non si assegna il versore) e un generico vettore appartenente alla medesima direzione va in se stesso (non vale se non si assegna il versore). Proprio per questo motivo i proiettori, pur continuando a presentare un autovalore nullo, solo per fare un esempio:
presentano il secondo autovalore diverso da 1, inconveniente che non consente alla loro somma di essere uguale all'operatore identità:
In $RR^2$, se:
$A=[[a,b],[c,d]]$
è una matrice ortogonale, allora:
$[A*A^t=Id] ^^ [A^t*A=Id]$
Quindi:
$[[a,b],[c,d]]*[[a,c],[b,d]]=[[1,0],[0,1]] rarr \{(a^2+b^2=1),(c^2+d^2=1),(ac+bd=0):}$
$[[a,c],[b,d]]*[[a,b],[c,d]]=[[1,0],[0,1]] rarr \{(a^2+c^2=1),(b^2+d^2=1),(ab+cd=0):}$
In $CC^2$, se:
$A=[[a,b],[c,d]]$
è una matrice unitaria, allora:
$[A*A^+=Id] ^^ [A^+*A=Id]$
Quindi:
$[[a,b],[c,d]]*[[bara,barc],[barb,bard]]=[[1,0],[0,1]] rarr \{(a bara+b barb=1),(c barc+d bard=1),(a barc+b bard=0):}$
$[[bara,barc],[barb,bard]]*[[a,b],[c,d]]=[[1,0],[0,1]] rarr \{(a bara+c barc=1),(b barb+d bard=1),(a barb+c bard=0):}$
"SteezyMenchi":
... se prendo un semplice insieme ortogonale del mio spazio ...
Solo se la direzione lungo la quale si proietta è assegnata mediante il relativo versore, un generico vettore appartenente al complemento ortogonale è mandato nel vettore nullo (vale anche se non si assegna il versore) e un generico vettore appartenente alla medesima direzione va in se stesso (non vale se non si assegna il versore). Proprio per questo motivo i proiettori, pur continuando a presentare un autovalore nullo, solo per fare un esempio:
$[[1],[1]]*[[1,1]]=[[1,1],[1,1]]$
$[[2],[-2]]*[[2,-2]]=[[4,-4],[-4,4]]$
$det[[1-\lambda,1],[1,1-\lambda]]=0 rarr (1-\lambda)^2-1=0 rarr \lambda^2-2\lambda=0 rarr \lambda=0 vv \lambda=2$
$det[[4-\lambda,-4],[-4,4-\lambda]]=0 rarr (4-\lambda)^2-16=0 rarr \lambda^2-8\lambda=0 rarr \lambda=0 vv \lambda=8$
presentano il secondo autovalore diverso da 1, inconveniente che non consente alla loro somma di essere uguale all'operatore identità:
$[[1,1],[1,1]]+[[4,-4],[-4,4]]=[[5,-3],[-3,5]]$
Noodles non so come ringraziarti hahaha. Davvero molte grazie. Ho soltanto un'ultima curiosità: non riesco a capire se studi (studiato) matematica o fisica. Io punterei su fisica teorica o fisica matematica. Puoi avvalerti della facoltà di non rispondere ovviamente.
Ad occhio... si è avvalso della facoltà di non rispondere .
.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo