Operatore trasposto rispetto al prodotto scalare

[lorenzo.ferrara.71653]

sia $f in End(R^3)$ definito da: $f ((x),(y),(z)) = ((x+2y),(2x+6z),(6y-9z))$; sia $G=((1,0,0),(0,2,0),(0,0,3)) in R(3)$ e sia $g$ il prodotto scalare definito da: $g(X,Y)= (X^(T)) (G^-1) Y$;
calcolare l'operatore trasposto di f rispetto a g, (trasposto f)


qualcuno può dirmi come calcolare l'operatore trasposto?? grazie!!!!

[6KIRA6]

Sai che $G^{-1}=((1,0,0),(0,1/(2),0),(0,0,1/3))$ . Dunque è definita positiva ed il mio intento è quello di trovare una base in cui $G^{-1}$ sia uguale a $((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$, in modo tale che la matrice associata dell'aggiunta di $f$ altro non è che la trasposta della matrice associata ad $f$ in questa base. Dunque, trovata la matrice di cambio di base $M$, la matrice dell'aggiunta è $B=(M^{-1}AM)^{T}$, dove $A$ è la matrice associata di $f$ nella base iniziale. Si vede facilmente che:
$M=((1,0,0),(0,1/{\sqrt{2}},0),(0,0,1/{\sqrt{3}}))$
$A=((1,2,6),(2,0,0),(6,0,-9))$
Da cui ti calcoli $B$. Per tornare nella base iniziale basta coniugare per l'inversa di $M$.