Operatore parte reale

[Webster]

Vorrei chiedervi di chiarirmi un dubbio che mi è venuto soffermandomi su alcuni concetti riguardanti la rappresentazione degli operatori lineari. L'operatore parte reale $Re(.)$ viene indicato come un operatore lineare (vd. [url]https://proofwiki.org/wiki/Definition:Real_Part_(Linear_Operator)[/url]). Se così fosse, fissata una base dovrebbe essere possibile associargli una matrice $R$ tale per cui $Re(ul(v))=R ul(v)$ ma proprio non riesco ad effettuare tale passaggio. Potete aiutarmi? Grazie

[billyballo2123]

Riesci ad associargli una matrice se lo spazio di partenza ha dimensione finita. Nel link che hai messo te si parla di spazi di Hilbert generici. Inoltre qui non ti dice "dato un vettore $v$, gli associamo la sua parte reale", ma ti dice "dato un operatore limitato sullo spazio di Hilbert, definiamo la parte reale (dell'operatore, non dei vettori)...".

[Webster]

Ok. Poniamo di essere in uno spazio a dimensione finita, ad esempio $C^N$. Quale è la matrice associata?

[billyballo2123]

Non hai capito: il link che hai postato te non ti dice che dato un vettore $v$ in uno spazio di Hilbert esiste un operatore lineare (chiamato parte reale) che gli associa $R(v)$. Il link dice che dato un operatore lineare continuo $A$ gli puoi associare la parte reale (DI $A$! NON DI $v$) definendola come $1/2(A+\overline{A})$. Essendo la somma di due operatori lineari moltiplicati per uno scalare, ottieni che anch'essa è un operatore lineare.

[dissonance]

Vabbè comunque se uno scrive $C=R^2$, allora $Re $ è rappresentabile come una matrice:
\[
Re(x, y)=x, \]
quindi gli si può associare la matrice $[[1,0], [0,0]]$.