Operatore integrale

[xJabari]

Salve, chiedo, se possibile, un aiuto su questo esercizio, ci penso già da un pò ma non riesco a svolgerlo, sicuramente sto sbagliando qualcosa e sto dimenticando qualcosa di semplice



1)come consiglia il testo decompongo la funzione seno come: sen(x)cos(t) + cos(t)sen(x) , ma cosa uso come f(t)? e quindi come mi trovo $ A^2 $ ? come base prenderei cos(t) e sen(t) ma non sono affatto sicuro
2) come dimostro che A è un operatore di proiezione? pensavo che basta dimostrare $ A^2 $= A; corretto?
3) compatto basta dire che la dim sia finita no? hermetiano, unitario so come si dimostra, almeno una cosa

il resto non saprei come muovermi, scusate e grazie

[dissonance]

Hai fatto pochino, eh. Non so se per pigrizia o, più probabilmente, perché ti sei convinta o convinto di non essere capace. Devi sporcarti un po' le mani con i conti, avendo fiducia nelle tue capacità.

Parti dal punto 1. Devi semplicemente calcolare \(Ag\) e porre \(g=Af\). È un calcolo meccanico, non hai bisogno di idee speciali. Solo dopo aver calcolato \(A^2\) puoi pensare a trovare una base della sua immagine.

[xJabari]

quindi basta svolgere $ -1/π int_(-π)^(π)[sen(x)cos(t) + cos(x)sen(t)]dt $ e poi, trovato il risultato, riapplicare l'operatore A?

sono poco fiducioso perchè avevo trovato un compito simile e in quel caso dava dei valori a f(t), quindi si calcolava l'integrale e vedeva che (Af) era invariente per A; in questo caso però a f(t) che valori devo dare? scusami e grazie per la risposta

[dissonance]

Ma no. Ho già scritto cosa devi fare. Fai un po' conti da solo prima di tornare a chiedere.

[j18eos]

Come direi a un mio studente: chi è la variabile di integrazione?

[anonymous_0b37e9]

Avevo fatto un po' di conti:

Premessa 1

$-1/\pi\int_{-\pi}^{\pi}sin(x+t)f(t)dt=$

$=-1/\pi\int_{-\pi}^{\pi}(sinxcost+cosxsint)f(t)dt=$

$=[-1/\pi\int_{-\pi}^{\pi}costf(t)dt]sinx+[-1/\pi\int_{-\pi}^{\pi}sintf(t)dt]cosx$

Premessa 2

$[f(t)=cosnt] rarr [-1/\pi\int_{-\pi}^{\pi}costcosntdt=-\delta_(1n)] ^^ [-1/\pi\int_{-\pi}^{\pi}sintcosntdt=0]$

$[f(t)=sinnt] rarr [-1/\pi\int_{-\pi}^{\pi}costsinntdt=0] ^^ [-1/\pi\int_{-\pi}^{\pi}sintsinntdt=-\delta_(1n)]$

Conclusione

$[n=1] rarr$

$rarr [hatA(cosx)=-sinx] ^^ [hatA(sinx)=-cosx] rarr$

$rarr [hatA^2(cosx)=cosx] ^^ [hatA^2(sinx)=sinx]$

$[n ne 1] rarr$

$rarr [hatA(cosnx)=0] ^^ [hatA(sinnx)=0] rarr$

$rarr [hatA^2(cosnx)=0] ^^ [hatA^2(sinnx)=0]$