Operatore diagonalizzabile autoaggiunto?
Posto questo esercizio di modo che qualche anima pia mi possa dire se ho commesso errori nella soluzione.
Sia $ V $ lo spazio delle matrici reali 2x2 a coefficienti reali. Al variare del parametro reale $ h $, si consideri la matrice:
$ B_h=( ( 1-h , 2h ),( 1 , h-1 ) ) $
e l'operatore $ F_h:V -> V $ ; $ A |-> B_hA $
a) Trovare la matrice rappresentativa di $ F_h $ come operatore.
Dunque, mi pare di capire che l'operatore $ F_h $ applicato ad una matrice $ A $ fornisca come immagine il prodotto $ B_hA $.
Se considero come matrici $ A $ del dominio le matrici 2x2 della base canonica, allora ottengo:
$ F_h( ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) )=( ( 1-h , 0 ),( 1 , 0 ) ); F_h( ( 0 , 1 ),( 0 , 0 ) )=( ( 0 , 1-h ),( 0 , 1 ) );$
$ F_h( ( 0 , 0 ),( 1 , 0 ) )=( ( 2h , 0 ),( h-1 , 0 ) ); F_h( ( 0 , 0 ),( 0 , 1 ) )=( ( 0 , 2h ),( 0 , h-1 ) ) $
ovvero:
$ F_h( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) )=( ( 1-h ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) ); F_h( ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) )=( ( 0 ),( 1-h ),( 0 ),( 1 ) ); F_h( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) )=( ( 2h ),( 0 ),( 1-h ),( 0 ) ); F_h( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) )=( ( 0 ),( 2h ),( 0 ),( 1-h ) ) $
da cui ricavo direttamente la matrice rappresentativa di $ F_h $:
$ M_h=( ( 1-h , 0 , 2h , 0 ),( 0 , 1-h , 0 , 2h ),( 1 , 0 , h-1 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , h-1 ) ) $
b) Dire per quali valori di $ h $ l'operatore $ F_h $ è diagonalizzabile.
Devo studiare $ det(M_h-lambdaI) $, semplificando prima di tutto la matrice con Gauss:
$ M_h=( ( 1-h-lambda , 0 , 2h , 0 ),( 0 , 1-h-lambda , 0 , 2h ),( 1 , 0 , h-1-lambda , 0 ),( 0 , 1 , 0 , h-1-lambda ) ) rArr ( ( 1 , 0 , h-1-lambda , 0 ),( 0 , 1 , 0 , h-1-lambda ),( 0 , 0 , h^2-lambda^2 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , h^2-lambda^2 ) ) $
dove ho spostato la terza e quarta riga della matrice nella prima e seconda riga, in modo da non ritrovarmi mai $lambda $ al denominatore nei vari passaggi con Gauss.
Fatto questo studio con Laplace $ det ( ( 1 , 0 , h-1-lambda , 0 ),( 0 , 1 , 0 , h-1-lambda ),( 0 , 0 , h^2-lambda^2 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , h^2-lambda^2 ) )= (h^2-lambda^2)^2 $ da cui trovo $ lambda=h; m.a.=2 $
Ponendo $ lambda=h $, ho che $ rg(M_h-lambdaI)=2 $ e quindi $ m.g.=dim(ker(M_h-lambdaI))=4-2=2=m.a. $
Quindi $M_h $ è diagonalizzabile per ogni $h$.
c) Trovare autovalori e autovettori per $ h=0 $.
Parto da $ M_0=( ( 1-lambda , 0 , 2h , 0 ),( 0 , 1-lambda , 0 , 2h ),( 1 , 0 , -1-lambda , 0 ),( 0 , 1 , 0 , -1-lambda ) ) rArr ( ( 1 , 0 , -1-lambda , 0 ),( 0 , 1 , 0 , -1-lambda ),( 0 , 0 , 1-lambda^2 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 1-lambda^2 ) ) $
e con Laplace, ottengo come polinomio caratteristico $ (1-lambda^2)^2 rArr lambda=1, m.a.=2 $
Con $lambda=1 $ trovo un autospazio di dimensione $2$: $ B={( ( 2 , 0 ),( 1 , 0 ) );( ( 0 , 2 ),( 0 , 1 ) )} $
d) Dire per quali valori di $ h $ l'operatore $ F_h $ è auto aggiunto rispetto al prodotto scalare definito positivo $<,> $ su $ V $ tale che $:=tr(A^tA') $.
Un operatore auoaggiunto è rappresentato da una matrice simmetrica, quindi a prima vista la mia matrice $ M_h $ è simmetrica solo per $ h=1/2 $ e quindi ottengo che $F_h$ è autoaggiunto solo per $ h=1/2 $.
Questa soluzione è sufficiente?
Al limite dovrei dimostrare che $ $=$ $ tenedo conto del prodotto scalare dato. Ma a conti mi viene un po' complicato...
Mi dite la vostra???
Grazie mille!
.BRN
Sia $ V $ lo spazio delle matrici reali 2x2 a coefficienti reali. Al variare del parametro reale $ h $, si consideri la matrice:
$ B_h=( ( 1-h , 2h ),( 1 , h-1 ) ) $
e l'operatore $ F_h:V -> V $ ; $ A |-> B_hA $
a) Trovare la matrice rappresentativa di $ F_h $ come operatore.
Dunque, mi pare di capire che l'operatore $ F_h $ applicato ad una matrice $ A $ fornisca come immagine il prodotto $ B_hA $.
Se considero come matrici $ A $ del dominio le matrici 2x2 della base canonica, allora ottengo:
$ F_h( ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) )=( ( 1-h , 0 ),( 1 , 0 ) ); F_h( ( 0 , 1 ),( 0 , 0 ) )=( ( 0 , 1-h ),( 0 , 1 ) );$
$ F_h( ( 0 , 0 ),( 1 , 0 ) )=( ( 2h , 0 ),( h-1 , 0 ) ); F_h( ( 0 , 0 ),( 0 , 1 ) )=( ( 0 , 2h ),( 0 , h-1 ) ) $
ovvero:
$ F_h( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) )=( ( 1-h ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) ); F_h( ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) )=( ( 0 ),( 1-h ),( 0 ),( 1 ) ); F_h( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) )=( ( 2h ),( 0 ),( 1-h ),( 0 ) ); F_h( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) )=( ( 0 ),( 2h ),( 0 ),( 1-h ) ) $
da cui ricavo direttamente la matrice rappresentativa di $ F_h $:
$ M_h=( ( 1-h , 0 , 2h , 0 ),( 0 , 1-h , 0 , 2h ),( 1 , 0 , h-1 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , h-1 ) ) $
b) Dire per quali valori di $ h $ l'operatore $ F_h $ è diagonalizzabile.
Devo studiare $ det(M_h-lambdaI) $, semplificando prima di tutto la matrice con Gauss:
$ M_h=( ( 1-h-lambda , 0 , 2h , 0 ),( 0 , 1-h-lambda , 0 , 2h ),( 1 , 0 , h-1-lambda , 0 ),( 0 , 1 , 0 , h-1-lambda ) ) rArr ( ( 1 , 0 , h-1-lambda , 0 ),( 0 , 1 , 0 , h-1-lambda ),( 0 , 0 , h^2-lambda^2 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , h^2-lambda^2 ) ) $
dove ho spostato la terza e quarta riga della matrice nella prima e seconda riga, in modo da non ritrovarmi mai $lambda $ al denominatore nei vari passaggi con Gauss.
Fatto questo studio con Laplace $ det ( ( 1 , 0 , h-1-lambda , 0 ),( 0 , 1 , 0 , h-1-lambda ),( 0 , 0 , h^2-lambda^2 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , h^2-lambda^2 ) )= (h^2-lambda^2)^2 $ da cui trovo $ lambda=h; m.a.=2 $
Ponendo $ lambda=h $, ho che $ rg(M_h-lambdaI)=2 $ e quindi $ m.g.=dim(ker(M_h-lambdaI))=4-2=2=m.a. $
Quindi $M_h $ è diagonalizzabile per ogni $h$.
c) Trovare autovalori e autovettori per $ h=0 $.
Parto da $ M_0=( ( 1-lambda , 0 , 2h , 0 ),( 0 , 1-lambda , 0 , 2h ),( 1 , 0 , -1-lambda , 0 ),( 0 , 1 , 0 , -1-lambda ) ) rArr ( ( 1 , 0 , -1-lambda , 0 ),( 0 , 1 , 0 , -1-lambda ),( 0 , 0 , 1-lambda^2 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 1-lambda^2 ) ) $
e con Laplace, ottengo come polinomio caratteristico $ (1-lambda^2)^2 rArr lambda=1, m.a.=2 $
Con $lambda=1 $ trovo un autospazio di dimensione $2$: $ B={( ( 2 , 0 ),( 1 , 0 ) );( ( 0 , 2 ),( 0 , 1 ) )} $
d) Dire per quali valori di $ h $ l'operatore $ F_h $ è auto aggiunto rispetto al prodotto scalare definito positivo $<,> $ su $ V $ tale che $
Un operatore auoaggiunto è rappresentato da una matrice simmetrica, quindi a prima vista la mia matrice $ M_h $ è simmetrica solo per $ h=1/2 $ e quindi ottengo che $F_h$ è autoaggiunto solo per $ h=1/2 $.
Questa soluzione è sufficiente?
Al limite dovrei dimostrare che $
Mi dite la vostra???
Grazie mille!
.BRN
Risposte
Ciao, scusami ma per il punto $b$ sei sicuro che sia una buona idea applicare gauss a quella matrice prima di usare laplace? non è che poi cambia il determinante? Te lo chiedo perchè io ho provato a fare il determinante di quella matrice senza modificarla e mi viene $(\lambda^2-h^2-1)^2$ (MOLTO probabilmente sono io che ho sbagliato i conti 
però non si sa mai controlla ... )
però non si sa mai controlla ... )
Ciao e grazie per il tuo interessamento.
Teoricamente, usando Lapalce e semplificando la matrice con gauss, non dovrebbe modificarsi il determinante. Tu o qualcun altro, potreste confermarmelo?
In genere, quando mi ritrovo matrici parametriche, per calcolare il determinante, le semplifico sempre con Gauss. In questo modo riduco notevolmente la mole di conti da fare.
No so quanto tu ci abbia impiegato a calcolarlo, ma io mi perdo in un delirio di conti se non la semplifico!
Chiunque volesse unirsi alla discussione è benvenuto!
.BNR
Teoricamente, usando Lapalce e semplificando la matrice con gauss, non dovrebbe modificarsi il determinante. Tu o qualcun altro, potreste confermarmelo?
In genere, quando mi ritrovo matrici parametriche, per calcolare il determinante, le semplifico sempre con Gauss. In questo modo riduco notevolmente la mole di conti da fare.
No so quanto tu ci abbia impiegato a calcolarlo, ma io mi perdo in un delirio di conti se non la semplifico!
Chiunque volesse unirsi alla discussione è benvenuto!
.BNR
"BRN":
Teoricamente, usando Lapalce e semplificando la matrice con gauss, non dovrebbe modificarsi il determinante. Tu o qualcun altro, potreste confermarmelo?
Cito da wikipedia:
Il determinante si comporta nel modo seguente rispetto all'algoritmo di Gauss-Jordan:
se $B$ è ottenuta scambiando due righe o due colonne di $A$ , allora $\det B = -\det A$ ,
se $B$ è ottenuta moltiplicando una riga o una colonna di $A$ per $k$ , allora $\det B = k\det A$ ,
se $B$ è ottenuta sommando una riga o una colonna rispettivamente di $A$ ad un'altra, allora $\det B = \det A$
"BRN":
No so quanto tu ci abbia impiegato a calcolarlo...
10 minuti abbondanti sviluppando mediante la prima colonna
il determinate si deforma se una riga viene moltiplicata o divisa per $k!=1$. Un k diverso può essere utilizzato se bisogna semplicemente risolvere un sistema, non per il calcolo del determinate dove siamo obbligati ad usare $k=1$.... o come suggerisce wikipedia 
Boh... ammetto di essere una schiappa nel fare i conti però, senza semplificare la matrice, i passaggi mi escono in questo modo:
rispetto alla prima colonna
$ det( ( 1-h-lambda , 0 , 2h , 0 ),( 0 , 1-h-lambda , 0 , 2h ),( 1 , 0 , h-1-lambda , 0 ),( 0 , 1 , 0 , h-1-lambda ) )= $
$ =(1-h-lambda)det( ( 1-h-lambda , 0 , 2h ),( 0 , h-1-lambda , 0 ),( 1 , 0 , h-1-lambda ) )+det( ( 0 , 2h , 0 ),( 1-h-lambda , 0 , 2h ),( 1 , 0 , h-1-lambda ) )= $
$ = (1-h-lambda)(-h+1+lambda)(1-h-lambda)(h-1-lambda)2h-2h(1-h-lambda)(h-1-lambda)2h=$
$=2h(1-h-lambda)(h-1-lambda)((1-h-lambda)(-h+1+lambda)-2h)=$
$=2h(1-h-lambda)(h-1-lambda)(-4h+1+h^2-lambda^2) $
se provo a semplificare di più, sono costretto a svolgere i prodotti e non ne esco più...
Per quanto riguarda l'utilizzo di Gauss, mi è stata insegnata una cosa non del tutto vera e prendo atto delle tre regole. Grazie mille.
A parte questo problema, a livello procedurale, l'esercizio è svolto sensatamente? per il punto d) che mi dite?
Grazie!
.BRN
rispetto alla prima colonna
$ det( ( 1-h-lambda , 0 , 2h , 0 ),( 0 , 1-h-lambda , 0 , 2h ),( 1 , 0 , h-1-lambda , 0 ),( 0 , 1 , 0 , h-1-lambda ) )= $
$ =(1-h-lambda)det( ( 1-h-lambda , 0 , 2h ),( 0 , h-1-lambda , 0 ),( 1 , 0 , h-1-lambda ) )+det( ( 0 , 2h , 0 ),( 1-h-lambda , 0 , 2h ),( 1 , 0 , h-1-lambda ) )= $
$ = (1-h-lambda)(-h+1+lambda)(1-h-lambda)(h-1-lambda)2h-2h(1-h-lambda)(h-1-lambda)2h=$
$=2h(1-h-lambda)(h-1-lambda)((1-h-lambda)(-h+1+lambda)-2h)=$
$=2h(1-h-lambda)(h-1-lambda)(-4h+1+h^2-lambda^2) $
se provo a semplificare di più, sono costretto a svolgere i prodotti e non ne esco più...
Per quanto riguarda l'utilizzo di Gauss, mi è stata insegnata una cosa non del tutto vera e prendo atto delle tre regole. Grazie mille.
A parte questo problema, a livello procedurale, l'esercizio è svolto sensatamente? per il punto d) che mi dite?
Grazie!
.BRN
Scusami io detesto scrivere le formule quindi i calcoli te li ho scannerizzati spero ti vada bene lo stesso xD ho messo $t$ al posto di $\lambda$ per comodità mia.
Sul resto non mi pronuncio anche perchè è tardi e non sono tanto lucido
Sul resto non mi pronuncio anche perchè è tardi e non sono tanto lucido
E' questo passaggio che non mi torna:
$ (1-h-t)(h-1-t)[(1-h-t)(h-1-t)-2h]+2h[2h-(1-h-t)(h-1-t)]=$
$=[(1-h-t)(h-1-t)-2h]^2 $
Meglio che vada a dormire pure io...
Per il momento grazie!
.BRN
$ (1-h-t)(h-1-t)[(1-h-t)(h-1-t)-2h]+2h[2h-(1-h-t)(h-1-t)]=$
$=[(1-h-t)(h-1-t)-2h]^2 $
Meglio che vada a dormire pure io...
Per il momento grazie!
.BRN
è un raccoglimento, ho cambiato il segno al $2h$ più esterno, ho cambiato il segno nella seconda parentesi quadra (che è diventata uguale alla prima) e poi ho messo in evidenza quella parentesi quadra appunto. Mi spiego meglio
"BRN":
$ (1-h-t)(h-1-t)[(1-h-t)(h-1-t)-2h]+2h[2h-(1-h-t)(h-1-t)]=$
$ =(1-h-t)(h-1-t)[(1-h-t)(h-1-t)-2h]-2h[-2h+(1-h-t)(h-1-t)]=$
$=[(1-h-t)(h-1-t)-2h]^2 $
Eh già... il cambiamento dei segni... un'accortezza che a me non sarebbe mai venuta in mente. L'ho detto che sono una schiappa nel fare i conti. 
E' davvero frustrante non passare gli esami per questi problemi...
Ad ogni modo, grazzie davvero perplesso!Ti devo una birra! (a dire il vero la devo a molti su questo forum)
A questo punto correggo i punti b) e c) del mio esercizio:
b) Dire per quali valori di h l'operatore $F_h$ è diagonalizzabile.
$det(M_h-lambdaI)=det( ( 1-h-lambda , 0 , 2h , 0 ),( 0 , 1-h-lambda , 0 , 2h ),( 1 , 0 , h-1-lambda , 0 ),( 0 , 1 , 0 , h-1-lambda ) ) =$
$(lambda^2-h^2-1)$ da cui ho che $ lambda=h+1 $ con $m.a.=2$
cerco le molteplicità geometriche per $lambda=h-1$:
$( ( -2h , 0 , 2h , 0 ),( 0 , -2h , 0 , 2h ),( 1 , 0 , -2 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , -2 ) ) rArr ( ( -2h , 0 , 2h , 0 ),( 0 , -2h , 0 , 2h ),( 0 , 0 , -1 , 0 ),( 0 ,0 , 0 , -1 ) ) $
dove $rg(M_h)=2$ per $h=0$ $rArr dim(ker(M_h-lambdaI)=4-2=2=m.g.$
per cui, la matrice è diagonalizzabile per $h=0$.
c) Trovare autovalori e autovettori per $h=0$.
$det(M_0)=det( ( 1-lambda , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1-lambda , 0 , 0 ),( 1 , 0 , -1-lambda , 0 ),( 0 , 1 , 0 , -1-lambda ) ) =$
$=(1-lambda)^2(-1-lambda)^2$, da cui $ { ( lambda_1=1 m.a.=2 ),( lambda_2=-1 m.a.=2 ):} $
cerco gli autovettori per $ lambda_1=1$:
$( ( 1 , 0 , -2 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , -2 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) rArr { ( x=2z ),( y=2t ), (z=z), (t=t):} $ e quindi
$ ( ( x ),( y ),( z ),( t ) )=z( ( 2 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) )+t( ( 0 ),( 2 ),( 0 ),( 1 ) ) $ da cui si hanno gli autovettori $( ( 2 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) )$ e $( ( 0 ),( 2 ),( 0 ),( 1 ) ) $
cerco gli autovettori per $ lambda_2=-1$:
$( ( 2 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 0 ) ) rArr ( ( 2 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) )$
$ { ( x=0 ),( y=0 ), (z=z), (t=t):} $ e quindi
$ ( ( x ),( y ),( z ),( t ) )=z( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) )+t( ( 0 ),( 0),( 0 ),( 1 ) ) $ da cui si hanno gli autovettori $( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) )$ e $( ( 0 ),( 0),( 0 ),( 1 ) ) $
Ogni altra precisazione è ben accetta!
.BRN
E' davvero frustrante non passare gli esami per questi problemi...
Ad ogni modo, grazzie davvero perplesso!Ti devo una birra! (a dire il vero la devo a molti su questo forum)
A questo punto correggo i punti b) e c) del mio esercizio:
b) Dire per quali valori di h l'operatore $F_h$ è diagonalizzabile.
$det(M_h-lambdaI)=det( ( 1-h-lambda , 0 , 2h , 0 ),( 0 , 1-h-lambda , 0 , 2h ),( 1 , 0 , h-1-lambda , 0 ),( 0 , 1 , 0 , h-1-lambda ) ) =$
$(lambda^2-h^2-1)$ da cui ho che $ lambda=h+1 $ con $m.a.=2$
cerco le molteplicità geometriche per $lambda=h-1$:
$( ( -2h , 0 , 2h , 0 ),( 0 , -2h , 0 , 2h ),( 1 , 0 , -2 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , -2 ) ) rArr ( ( -2h , 0 , 2h , 0 ),( 0 , -2h , 0 , 2h ),( 0 , 0 , -1 , 0 ),( 0 ,0 , 0 , -1 ) ) $
dove $rg(M_h)=2$ per $h=0$ $rArr dim(ker(M_h-lambdaI)=4-2=2=m.g.$
per cui, la matrice è diagonalizzabile per $h=0$.
c) Trovare autovalori e autovettori per $h=0$.
$det(M_0)=det( ( 1-lambda , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1-lambda , 0 , 0 ),( 1 , 0 , -1-lambda , 0 ),( 0 , 1 , 0 , -1-lambda ) ) =$
$=(1-lambda)^2(-1-lambda)^2$, da cui $ { ( lambda_1=1 m.a.=2 ),( lambda_2=-1 m.a.=2 ):} $
cerco gli autovettori per $ lambda_1=1$:
$( ( 1 , 0 , -2 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , -2 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) rArr { ( x=2z ),( y=2t ), (z=z), (t=t):} $ e quindi
$ ( ( x ),( y ),( z ),( t ) )=z( ( 2 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) )+t( ( 0 ),( 2 ),( 0 ),( 1 ) ) $ da cui si hanno gli autovettori $( ( 2 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) )$ e $( ( 0 ),( 2 ),( 0 ),( 1 ) ) $
cerco gli autovettori per $ lambda_2=-1$:
$( ( 2 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 0 ) ) rArr ( ( 2 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) )$
$ { ( x=0 ),( y=0 ), (z=z), (t=t):} $ e quindi
$ ( ( x ),( y ),( z ),( t ) )=z( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) )+t( ( 0 ),( 0),( 0 ),( 1 ) ) $ da cui si hanno gli autovettori $( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) )$ e $( ( 0 ),( 0),( 0 ),( 1 ) ) $
Ogni altra precisazione è ben accetta!
.BRN
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