Operatore di Weingarten
Sto studiando come ricavare le curvature di una superficie in R^3; da quanto ho capito seguendo l'approccio "analitico" si introduce l'operatore di Weingarten che sostanzialmente indica come varia il versore normale al piano tangente di una superficie in un punto, seguendo una direzione attraverso la derivata direzionale. Però non mi è tanto chiaro perché applicando l'operatore forma ad un vettore del piano tangente in un punto, in generale, non ho come immagine un vettore parallelo ad esso; cioè applicando la derivata direzionale di un vettore non dovrei avere come risultato un vettore parallelo alla direzione in cui ho derivato?
Risposte
CIa0, benvenuto!
Se ho capito bene, applichi l'operatore di forma \(\displaystyle B\) calcolato in un punto \(\displaystyle P\) a un vettore tangente \(\displaystyle v_P\) alla superficie \(\displaystyle\Sigma\) in \(\displaystyle P\)?
Se ho capito bene, applichi l'operatore di forma \(\displaystyle B\) calcolato in un punto \(\displaystyle P\) a un vettore tangente \(\displaystyle v_P\) alla superficie \(\displaystyle\Sigma\) in \(\displaystyle P\)?
grazie! si cioè il mio dubbio è perché l'operatore di Weingarten applicato a un vettore tangente in un punto P a una superficie Σ, mi da un vettore che in generale non è parallelo a quello di partenza. A me viene in mente che, essendo sostanzialmente una derivata direzionale di un versore, il risultato dovrebbe essere un vettore parallelo a quello che mi indica la direzione di derivazione o no?
A me viene in mente che \(\displaystyle v\) possa essere autovettore di \(\displaystyle B\)!
si infatti è cosi cioè solo per un autovettore si ha un vettore parallelo come risultato però la derivata direzionale di un vettore non è sempre un vettore parallelo al verso della direzione di derivazione?
Così, su due piedi e per quel che mi ricordo: la derivata direzionale di una funzione a valori vettoriali fornisce un vettore parallelo alla data direzione!
si infatti non capisco come è possibile che essendo l'operatore di Weingarten una derivata direzionale i vettori risultanti non siano tutti paralleli al vettore a cui è applicato..
"Geomag":Pensandoci: sei sicuro?
...essendo l'operatore di Weingarten una derivata direzionale...
Ciao a tutti,
Personalmente non ricordo un risultato simile, e il caso in questione dovrebbe chiarire il dubbio: in generale no.
Mettiamola così: ho una funzione vettoriale $vec v=vec v(x,y,z)$; è lecito scomporla nelle sue componenti cartesiane rispetto a un'opportuna base:
$vec v=v_1 vec i+v_2 vec j+v_3 vec k$
Ora deriviamo entrambi i membri rispetto a una direzione $vec u$, facendo uso delle classiche regole di derivazione:
$(delvec v)/(delvec u)=(delv_1)/(delvec u) vec i+(delv_2)/(delvec u) vec j+(delv_3)/(delvec u) vec k$
Ora ricordando che la derivata direzionale di una funzione scalare è uguale al prodotto scalare del gradiente per il versore della direzione
$(delvec v)/(delvec u)=(nablavec v_1*vec u)vec i+(nablavec v_2*vec u)vec j+(nablavec v_3*vec u)vec k$
Se ricordi la definizione di jacobiano possiamo anche scrivere
$(delvec v)/(delvec u)=J_(vec v)*vec u$
Infine se $(delvec v)/(delvec u)||vec u$ allora $J_(vec v)*vec u=kvec u$, giusto?
Quindi per essere vero sempre $AAvec u$, si dovrebbe avere
$J_(vec v)=((k,0,0),(0,k,0),(0,0,k))$
cioè è sempre vero solo nel caso in cui $vec v=kxvec i+kyvec j+kzvec k$. Un caso un po' particolare insomma.
In generale mi sembra invece che la derivata direzionale restituisce un vettore parallelo alla direzione rispetto alla quale si deriva, solo se tale direzione è quello che per definizione si chiama un autovettore?
Quindi in generale no, direi che la derivata direzionale non è necessariamente parallela alla direzione rispetto alla quale si derivi.
applicando la derivata direzionale di un vettore non dovrei avere come risultato un vettore parallelo alla direzione in cui ho derivato?
Personalmente non ricordo un risultato simile, e il caso in questione dovrebbe chiarire il dubbio: in generale no.
Mettiamola così: ho una funzione vettoriale $vec v=vec v(x,y,z)$; è lecito scomporla nelle sue componenti cartesiane rispetto a un'opportuna base:
$vec v=v_1 vec i+v_2 vec j+v_3 vec k$
Ora deriviamo entrambi i membri rispetto a una direzione $vec u$, facendo uso delle classiche regole di derivazione:
$(delvec v)/(delvec u)=(delv_1)/(delvec u) vec i+(delv_2)/(delvec u) vec j+(delv_3)/(delvec u) vec k$
Ora ricordando che la derivata direzionale di una funzione scalare è uguale al prodotto scalare del gradiente per il versore della direzione
$(delvec v)/(delvec u)=(nablavec v_1*vec u)vec i+(nablavec v_2*vec u)vec j+(nablavec v_3*vec u)vec k$
Se ricordi la definizione di jacobiano possiamo anche scrivere
$(delvec v)/(delvec u)=J_(vec v)*vec u$
Infine se $(delvec v)/(delvec u)||vec u$ allora $J_(vec v)*vec u=kvec u$, giusto?
Quindi per essere vero sempre $AAvec u$, si dovrebbe avere
$J_(vec v)=((k,0,0),(0,k,0),(0,0,k))$
cioè è sempre vero solo nel caso in cui $vec v=kxvec i+kyvec j+kzvec k$. Un caso un po' particolare insomma.
In generale mi sembra invece che la derivata direzionale restituisce un vettore parallelo alla direzione rispetto alla quale si deriva, solo se tale direzione è quello che per definizione si chiama un autovettore?
Quindi in generale no, direi che la derivata direzionale non è necessariamente parallela alla direzione rispetto alla quale si derivi.
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