Operatore di proiezione
Ho dei dubbi sulla definizione di operatore di proiezione, nella fattispecie operatore di proiezione ortogonale.
Vi riporto quella che mi ritrovo ma che non mi convince del tutto:
DEF: sia $H$ uno spazio di Hilbert, $K$ un suo sottospazio chiuso. L'operatore $P: H \rightarrow K$ che associa ad ogni elemento $u \in H$ un elemento $v \in K$ si dice proiettore.
P è ortogonale se $\forall u\in H$ $ \exists v \in K$ tale che $u=Pv+g$, con $g \bot Pv$, $Pv=v$.
E' giusta? Mi chiedo: il vettore $v$ deve appartenere a $K$ o ad $H$?
Nel caso in cui $v \in K$ (come è verosimile che sia), segue in automatico che $Pv=v$?
Magari sto chiedendo delle banalità ma non ho del tutto chiara la situazione.
Grazie
Vi riporto quella che mi ritrovo ma che non mi convince del tutto:
DEF: sia $H$ uno spazio di Hilbert, $K$ un suo sottospazio chiuso. L'operatore $P: H \rightarrow K$ che associa ad ogni elemento $u \in H$ un elemento $v \in K$ si dice proiettore.
P è ortogonale se $\forall u\in H$ $ \exists v \in K$ tale che $u=Pv+g$, con $g \bot Pv$, $Pv=v$.
E' giusta? Mi chiedo: il vettore $v$ deve appartenere a $K$ o ad $H$?
Nel caso in cui $v \in K$ (come è verosimile che sia), segue in automatico che $Pv=v$?
Magari sto chiedendo delle banalità ma non ho del tutto chiara la situazione.
Grazie
Risposte
dovrebbe essere Pu invece di Pv.
v deve appartenere a K.
per capirci un proiettore ortogonale P su K funziona così, dividi lo spazio di Hilbert in K e complemento ortogonale di K , W (H è somma diretta di questi, th della proiezione).
risulta K = ran (P) e W = ker (P).
Pensalo in uno spazio finito dimensionale il succo è quello.
v deve appartenere a K.
per capirci un proiettore ortogonale P su K funziona così, dividi lo spazio di Hilbert in K e complemento ortogonale di K , W (H è somma diretta di questi, th della proiezione).
risulta K = ran (P) e W = ker (P).
Pensalo in uno spazio finito dimensionale il succo è quello.
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