Operatore di forma (geometria differenziale)

[Rattlesnake89]

Il mio prof. di geometria differenziale ha detto a lezione che l’operatore di forma è “evidentemente” un’applicazione lineare, ma io non ho capito perché; qualcuno sa spiegarmelo?
Con operatore di forma intendo l’applicazione, dal piano tangente a una superficie in un punto P in sé, che manda un vettore tangente ad una curva( giacente sulla superficie) nella derivata (cambiata di segno) della normale al piano tangente rispetto al parametro “tempo” con cui la curva in questione viene parametrizzata. Scusate l’astrusità che ho scritto ma non sapevo come esprimermi altrimenti.
Grazie!

[apatriarca]

La derivata direzionale è lineare.

[Rattlesnake89]

Esatto è proprio quello che ha detto in classe il mio professore. Probabilmente ho gli occhi tappati ma non riesco a capire cosa c'entri.. Che la derivata direzionale sia lineare d'accordo (per il teorema che afferma che è il prodotto scalare tra gradiente e vettore direzione, unitamente alla linearità del gradiente, giusto?). Ma in questo caso qual è la derivata direzionale di cui stiamo parlando?
Grazie!

[apatriarca]

La derivata direzionale di una funzione $F$ rispetto ad un vettore $v$ (che indico con $v(F)$) è uguale a
$v(F) = (dF(g(t)))/(dt)$
dove $g$ è una curva che ha derivata nel punto in cui calcoli la derivata uguale a $v$ per definizione.

[Rattlesnake89]

grazie mille, ora ho capito