Operatore autoaggiunto

[zio_mangrovia]

Se non sbaglio la matrice associata di un operatore autoaggiunto ha la diagonale costituita tutta da valori reali ed è simmetrica.
Questo accade anche se l'operatore è definito come $A:CC^n->CC^n$ indipendentemente dalla matrice A che sia nei reali o complessi?

[killing_buddha]

Le definizioni di autoaggiunto sono diverse sui reali e sui complessi; anzitutto, la nozione di operatore autoaggiunto è sempre data rispetto a un fissato prodotto scalare, cioè ogni volta che fissi una applicazione bilineare \(\varphi : V\otimes V \to k\) ottieni una nozione di operatori autoaggiunti rispetto a $\varphi$, definiti come quegli endomorfismi tali he $\varphi(Av,w)=\varphi(v,Aw)$.
Gli operatori reali autoaggiunti sono definiti rispetto al prodotto scalare. Quelli complessi rispetto al prodotto hermitiano (il prodotto hermitiano è una maniera naturale di definire un prodotto scalare tale che \(\langle v,v\rangle\ge 0\) vietando così a un vettore di avere una antipatica lunghezza negativa).

[zio_mangrovia]

"killing_buddha":Le definizioni di autoaggiunto sono diverse sui reali e sui complessi....

Il prof esprime il concetto con questa definizione generale:

sia $A$ un operatore lineare da $X$ in $X$a allora $A$ verrà detto autoaggiunto se e solo se verifica:
$(Au)v = u(Av)$ $AAu,v in X$
e dice che I prodotti scalari vanno intesi in $X$.
Chiaro il concetto di prodotto scalare o prodotto Hermitiano in base a dove cade l'operatore se nei $RR$ o $CC$.

Ho però questi dubbi:

[*:1adtc6j5]Nella definizione di operatore autoaggiunto si parla di spazio Euclideo o Vettoriale ? Credo Euclideo ma vorrei averne conferma.[/*:m:1adtc6j5]
[*:1adtc6j5] La matrice di rappresentazione dell'operatore autoaggiunto rispetto alla sua base è sempre simmetrica? P.e. nel caso complesso $a_(ij)=\bar(a_(ij))$ mentre nel reale $a_(ij)=a_(ij)$. E' sempre vero?[/*:m:1adtc6j5]
[*:1adtc6j5] L' operatore autoaggiunto è rappresentato da una matrice che nel caso dei complessi è espressa sempre rispetto ad una base ortonormale?[/*:m:1adtc6j5]
[*:1adtc6j5] L' operatore autoaggiunto è rappresentato da una matrice che nel caso dei reali è espressa sempre rispetto ad una base canonica?[/*:m:1adtc6j5]
[*:1adtc6j5] gli autovalori sono rappresentati dagli elementi della diagonale? [/*:m:1adtc6j5]
[*:1adtc6j5] gli autovalori sono sempre reali?[/*:m:1adtc6j5][/list:u:1adtc6j5]

Grazie