Operatore aggiunto
non riesco a chiarire questo passaggio:
sia $Bu=sum_i^mb_iu_i$ un operatore con $b_i,u_iinL_2(0,T)$
allora per il suo aggiunto calcolato in h generico:
$(B^(star)h)_i=$
perchè e che significa quel pedice i?
sia $Bu=sum_i^mb_iu_i$ un operatore con $b_i,u_iinL_2(0,T)$
allora per il suo aggiunto calcolato in h generico:
$(B^(star)h)_i=
perchè e che significa quel pedice i?
Risposte
Quello che non capisco è dove è definito $B$...
A quanto pare, è definito su $u=(u_1,\ldots ,u_m)\in (L^2(0,T))^m$, o sbaglio?
A quanto pare, è definito su $u=(u_1,\ldots ,u_m)\in (L^2(0,T))^m$, o sbaglio?
"Gugo82":
Quello che non capisco è dove è definito $B$...
A quanto pare, è definito su $u=(u_1,\ldots ,u_m)\in (L^2(0,T))^m$, o sbaglio?
si, penso di si, il testo non lo dice, dice solo che bi e ui appartengono a L2 poi arriva subito alla conclusione
Scusa ma che stai studiando? Operatori compatti o a rango finito?
Così mi faccio un'idea...
Così mi faccio un'idea...
non so se hai studiato sul curtain pritchard, è un esempio dell'ultimo capitolo teoria dei sistemi lineari a dimensione infinita.
preticamente B è un operatore limitato del sistema di evoluzione astratta:
$z'(t)=Az(t)+Bu(t)$
dove $u(t)$ è il controllo solo che in questo caso al posto di $Bu(t)$ c'è $sum_(i=1)^mb_iu_i$ allora per verificare la controllabilità del sistema bisogna trovare $B^(star)h$, il testo dice drettamente che fa quella cosa ma non capisco perchè...
$z'(t)=Az(t)+Bu(t)$
dove $u(t)$ è il controllo solo che in questo caso al posto di $Bu(t)$ c'è $sum_(i=1)^mb_iu_i$ allora per verificare la controllabilità del sistema bisogna trovare $B^(star)h$, il testo dice drettamente che fa quella cosa ma non capisco perchè...
Non ci ho mai studiato... Ora vedo il mulo che mi dice, poi ti faccio sapere. 
se vuoi ti scannerizzo la pagina dell'esempio in questione.
caspita che velocità ho provato a cercare sul mulo e mi si sta scaricando, puoi farlo anche tu senza problemi. 
l'esempio si trova a pagina 217-218.
l'esempio si trova a pagina 217-218.
no è pagina 312 su quel file ma bisogna usare il formato djvu
Grazie della foto; il mio mulo è testardo e lento, ancora non mi è arrivato nulla. 
Mi devi spiegare un attimo chi sono $H$ ed $U$, altrimenti non capisco.
E i $b_i$ sono funzioni, vero?
Mi devi spiegare un attimo chi sono $H$ ed $U$, altrimenti non capisco.
E i $b_i$ sono funzioni, vero?
il fatto è che sembra una cavolata, e viene la rabbia .
dunque H è uno spazio di hilbert (quello delle b_i cioè $L_2(Omega)$ e U un altro spazio di hilbert. U dev'essere l'insieme immagine di B, cioè di quella sommatoria (almeno credo) quindi quello che hai scritto tu prima $L_2(0,T)^n$ non l'ho proprio capita.
.dunque H è uno spazio di hilbert (quello delle b_i cioè $L_2(Omega)$ e U un altro spazio di hilbert. U dev'essere l'insieme immagine di B, cioè di quella sommatoria (almeno credo) quindi quello che hai scritto tu prima $L_2(0,T)^n$ non l'ho proprio capita.
cioè l'immagine di B è H, il dominio è U, il contrario dell'operatore aggiunto.
Quello che non riesco a capire è come opera $B$.
Insomma, nel primo messaggio hai detto che $Bu:=\sum_(i=1)^mb_iu_i$: da questo e da quanto hai appena detto, posso dedurre che:
- $B$ "butta" $m$-uple di funzioni $(u_1,\ldots ,u_m) \in (L_2(0,T))^m$ in uno spazio di Hilbert (che mi dici chiamarsi $H$), quindi che $B:(L_2(0,T))^m\to H$;
- le $b_1,\ldots ,b_m$ ("componenti", o coefficienti, di $B$) sono scelte in un altro spazio di Hilbert;
ne consegue, se ho interpretato bene, che $B^**$ ha dominio $H=H^**$ e codominio $(L_2(0,T))^m=((L_2(0,T))^m)^**$.
Ora, il prodotto di $m$ copie di $L_2(0,T)$, ossia $(L_2(0,T))^m$, si può munire di una struttura di spazio di Hilbert canonica considerando il prodotto scalare:
$[u,v]:=\sum_(i=1)^m\langle u_i,v_i\rangle \quad$ (qui $\langle \cdot, \cdot \rangle$ è il prod. scalare di $L_2(0,T)$ ed $u=(u_1,\ldots ,u_m),v=(v_1,\ldots ,v_m)$);
se prendo $h\in H, u\in L_2(0,T)$ e scrivo la relazione che lega $B^**$ a $B$ rispetto ad $h$ ed $u$ trovo $[B^**h,u]=(h,Bu)$ (in cui $(\cdot,\cdot)$ è il prodotto scalare di $H$): il primo membro è, per definizione:
(*) $\quad [B^**h,u]=\sum_(i=1)^m \langle (B^**h)_i,u_i\rangle \quad$ (qui $(B^**h)_i$ indica la $i$-esima funzione dell'$m$-upla $B^**h$),
mentre il secondo membro è:
(**) $\quad (h,Bu)=(h,\sum_(i=1)^m b_iu_i) \quad$.
Qui mi blocco.
Può darsi che non conoscendo bene il contesto abbia commesso qualche errore; però questo è il massimo che credo di poter fare per ora.
Insomma, nel primo messaggio hai detto che $Bu:=\sum_(i=1)^mb_iu_i$: da questo e da quanto hai appena detto, posso dedurre che:
- $B$ "butta" $m$-uple di funzioni $(u_1,\ldots ,u_m) \in (L_2(0,T))^m$ in uno spazio di Hilbert (che mi dici chiamarsi $H$), quindi che $B:(L_2(0,T))^m\to H$;
- le $b_1,\ldots ,b_m$ ("componenti", o coefficienti, di $B$) sono scelte in un altro spazio di Hilbert;
ne consegue, se ho interpretato bene, che $B^**$ ha dominio $H=H^**$ e codominio $(L_2(0,T))^m=((L_2(0,T))^m)^**$.
Ora, il prodotto di $m$ copie di $L_2(0,T)$, ossia $(L_2(0,T))^m$, si può munire di una struttura di spazio di Hilbert canonica considerando il prodotto scalare:
$[u,v]:=\sum_(i=1)^m\langle u_i,v_i\rangle \quad$ (qui $\langle \cdot, \cdot \rangle$ è il prod. scalare di $L_2(0,T)$ ed $u=(u_1,\ldots ,u_m),v=(v_1,\ldots ,v_m)$);
se prendo $h\in H, u\in L_2(0,T)$ e scrivo la relazione che lega $B^**$ a $B$ rispetto ad $h$ ed $u$ trovo $[B^**h,u]=(h,Bu)$ (in cui $(\cdot,\cdot)$ è il prodotto scalare di $H$): il primo membro è, per definizione:
(*) $\quad [B^**h,u]=\sum_(i=1)^m \langle (B^**h)_i,u_i\rangle \quad$ (qui $(B^**h)_i$ indica la $i$-esima funzione dell'$m$-upla $B^**h$),
mentre il secondo membro è:
(**) $\quad (h,Bu)=(h,\sum_(i=1)^m b_iu_i) \quad$.
Qui mi blocco.
Può darsi che non conoscendo bene il contesto abbia commesso qualche errore; però questo è il massimo che credo di poter fare per ora.
si, hai interpretato come me, B da m-uple di funzioni (u si intende come m-upla ui la componente) butta fuori valori in H.
tiro a dire qualcosa, forse andando avanti coi conti si arriva a dimostrare quel risultato, però forse non è una cosa immediata e il libro infatti non la dimostra, la dà come un risultato da accettare così com'è.
tiro a dire qualcosa, forse andando avanti coi conti si arriva a dimostrare quel risultato, però forse non è una cosa immediata e il libro infatti non la dimostra, la dà come un risultato da accettare così com'è.
aspe no però forse ho capito il prodotto scalare nel caso di m-uple siano queste funzioni o no si fa nel modo usuale, cioè con la sommatoria, mentre nel caso di funzioni si fa con l'integrale quindi se $B^(star)h$ è un vettore di m componenti il suo prodotto scalare è una sommatoria di queste componenti moltiplicate per le rispettive ui $ =sum_i(B^(star)h)_iu_i$, nel secondo caso la sommatoria si può portare fuori e quindi si può raccogliere $sum_iu_i$ perchè il prodotto è fatto in H e di qui l'uguaglianza dei termini. dovrebbe tornare.
che gran cag...ta! lol una giornata persa dietro questa cosa
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