Omotopia e connessione per archi
Dati due spazi topologici X e Y omoticamente equivalenti devo dimostrare che supposto X connesso per archi allora anche Y è connesso per archi.
Come posso fare??
Come posso fare??
Risposte
Uno spazio (puntato) è connesso per archi se e solo se esiste una biiezione tra \([(S^0, 0), (X,x_0)]\) e l'insieme con un solo punto \(\{*\}\); devi dimostrare solo che un'equivalenza omotopica \(X\simeq Y\) induce una biiezione tra \([(S^0, 0), (X,x_0)]\) e \([(S^0, 0), (Y,y_0)]\).
Facciamolo in un altro modo.
Prendendo la definizione pura e semplice (\(X\) è connesso per archi se dati due punti a caso esiste un cammino che li unisce) se \(X\) è omotopicamente equivalente ad \(Y\) mediante \(f : X\to Y,g : Y\to X\) e \(H : X\times I\to X\) è un'omotopia \(gf\simeq 1\), \(K : Y\times I\to Y\) è un'omotopia \(fg\simeq 1\), allora per ogni coppia di punti \(y_0,y_1\) in \(Y\) esiste una coppia di punti di \(X\), diciamo \(x_0,x_1\), tali che \(f(x_i)=y_i\). Allora, però, esiste un cammino \(\gamma : x_0\to x_1\) in \(X\) per ipotesi, e l'immagine di questo cammino è un cammino \(f(x_0)\to f(x_1)\); componendo i cammini \(y_0\to f(x_0)\to f(x_1)\to y_1\) si ha che esiste \(\delta : y_0\to y_1\).
Prendendo la definizione pura e semplice (\(X\) è connesso per archi se dati due punti a caso esiste un cammino che li unisce) se \(X\) è omotopicamente equivalente ad \(Y\) mediante \(f : X\to Y,g : Y\to X\) e \(H : X\times I\to X\) è un'omotopia \(gf\simeq 1\), \(K : Y\times I\to Y\) è un'omotopia \(fg\simeq 1\), allora per ogni coppia di punti \(y_0,y_1\) in \(Y\) esiste una coppia di punti di \(X\), diciamo \(x_0,x_1\), tali che \(f(x_i)=y_i\). Allora, però, esiste un cammino \(\gamma : x_0\to x_1\) in \(X\) per ipotesi, e l'immagine di questo cammino è un cammino \(f(x_0)\to f(x_1)\); componendo i cammini \(y_0\to f(x_0)\to f(x_1)\to y_1\) si ha che esiste \(\delta : y_0\to y_1\).
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