Omotopia di mappe sulla n-sfera

[Injo]

Avrei bisogno di qualche informazione circa queste due brevi situazioni.

1) Devo mostrare che una mappa [tex]f:X\to S^n[/tex] non suriettiva è omotopa ad una mappa costante. È sufficiente notare che tale mappa può essere senza problemi espressa come [tex]f:X\to S^n-\{x_0\}[/tex] con [tex]x_0[/tex] non in [tex]Img(f)[/tex] e che [tex]S^n-\{x_0\}[/tex] è contraibile?

2) Mi viene chiesto di mostrare che una mappa [tex]f:S^n \to S^n[/tex] priva di punti fissi è omotopa alla mappa antipodale [tex]\alpha : S^n \to S^n[/tex], [tex]\alpha (x)=-x[/tex]. Io ho ragionato in questo modo:
Ho definito [tex]F:S^n \times [0,1] \to S^n[/tex] con [tex]F(x,t)=\frac{f(x)(1-t)-xt}{||f(x)(1-t)-xt||}[/tex]. Così facendo, le restrizioni di [tex]F[/tex] per [tex]t=0[/tex] e [tex]t=1[/tex] sono rispettivamente [tex]f[/tex] e [tex]\alpha[/tex]. Resta quindi da provare che [tex]F[/tex] sia una mappa continua ben definita. Allora ho notato che il denominatore è nullo se e solo se [tex]f(x)=\frac{xt}{1-t}[/tex]. Inoltre so che [tex]f(x),x \in S^n[/tex] dunque dev'essere [tex]||f(x)||=||x||=1[/tex]. Ma allora [tex]1=||f(x)||=||x||||\frac{t}{1-t}||[/tex] quindi [tex]\frac{t}{1-t} \in \{-1,1\}[/tex]. Ma non può essere [tex]1[/tex] perchè altrimenti si avrebbe [tex]f(x)=x[/tex] mentre la mappa è priva di punti fissi per ipotesi. Quindi il denominatore può essere nullo solo se [tex]f(x)=-x=\alpha (x)[/tex].
Quindi ho concluso che: se [tex]f\neq \alpha[/tex], allora [tex]F[/tex] è l'omotopia tra le due mentre se [tex]f=\alpha[/tex] l'omotopia è l'identità. Quindi sono omotope.
È corretto?

[cirasa]

1) Sì, perchè in uno spazio contraibile [tex]Y=S^n\setminus\{x_0\}[/tex] la mappa identica [tex]i_Y[/tex] è omotopa ad una mappa costante mediante un'omotopia [tex]H:Y\times [0,1]\to Y[/tex].
Poi basta comporre opportunamente (se vuoi scrivo tutti i dettagli) e ottieni l'omotopia fra [tex]f[/tex] e una mappa costante.

2) Quasi tutto ok (anzi direi di più: molto bello! ).
Ho un dubbio sulla tua dimostrazione sul fatto che [tex]F[/tex] è ben posta. (E scusami per la pignoleria, ma sono fatto così!)

Tu dici in sostanza questo: dimostriamo che il denominatore è non nullo per ogni [tex]x\in S^n[/tex] e per ogni [tex]t\in [0,1][/tex].
Se per assurdo esistessero [tex]x\in S^n[/tex] e [tex]t\in [0,1][/tex] tali che [tex]$ f(x)=\frac{tx}{1-t}[/tex] allora si verificherebbe uno dei due casi seguenti:
a) [tex]x[/tex] è un punto fisso di [tex]f[/tex] e questo è assurdo perché [tex]f[/tex] non ha punti fissi (e fin qui ok);
b) [tex]f(x)=-x=\alpha(x)[/tex]. Ma questo non è assurdo! Quindi questo ragionamento non conclude la dimostrazione!
Voglio dire che la tua applicazione [tex]f[/tex] può tranquillamente essere diversa da [tex]\alpha[/tex], ma essere tale che [tex]f(x)=\alpha(x)[/tex] per qualche [tex]x[/tex].
Piuttosto io direi che il caso b) non si può verificare perché significa che [tex]$ \frac{t}{1-t}=-1[/tex] ovvero [tex]t=t-1[/tex], cioè [tex]0=-1[/tex] che è palesemente un assurdo.

[Injo]

A quella possibilità non ci avevo proprio pensato (e non è una pignoleria, sarebbe proprio incompleto ). Ho capito, grazie mille.

[cirasa]

Prego. In realtà non ho fatto molto.
Avevi fatto già tutto tu

[apatriarca]

Per quanto riguarda il primo esercizio è esattamente il modo in cui lo risolverei. Per quanto riguarda il secondo, non ho capito del tutto il senso della tua dimostrazione sulla continuità. Secondo me è sufficiente osservare che l'unica retta che contiene sia l'origine che il punto $-x$ è la retta passante per $x$. Se quindi $f(x) \ne x$ per ogni $x$, allora il segmento $f(x)(1 - t) - xt \ne 0$ per ogni $t$ e quindi $F(x,t)$ è sempre ben definita e continua. Nel tuo caso hai concluso che $f(x) \ne \alpha(x)$, ma in questo caso $F(x,t) = (\alpha(x))/(||\alpha(x)||) = \alpha(x) = -x$ che è una mappa continua e ben definita sulla sfera ($\alpha(x)$ è insomma ovviamente omotopa a $\alpha(x)$).

[Injo]

Dato che ho aperto questa discussione ne approfitto per chiedere nuovamente una mano.

Dati [tex]N,S \in S^2[/tex] dove [tex]N=-S[/tex] (ovvero i due punti sono agli antipodi). Chiamo [tex]NS[/tex] il segmento congiungente [tex]N[/tex] ed [tex]S[/tex]. Sia poi [tex]X[/tex] lo spazio ottenuto da [tex]S^2[/tex] identificando [tex]N[/tex] ed [tex]S[/tex]. Come posso mostrare che [tex]S^2 \cup NS[/tex] e [tex]X[/tex] sono omotopicamente equivalenti?

Ho fatto delle prove ricorrendo alla definizione stessa di equivalenza omotopica (cioè ho cercato due funzioni [tex]f:S^2 \cup NS \to X[/tex] e [tex]g:X \to S^2 \cup NS[/tex] tali che [tex]fg[/tex] e [tex]gf[/tex] omotope rispettivamente a [tex]id_{S^2\cup NS}[/tex] ed [tex]id_{X}[/tex]) ma non sono riuscito a raggiungere alcun risultato. Sapreste darmi una mano (o indicarmi un'altra strada da seguire)?

[ViciousGoblin]

"Injo":Dato che ho aperto questa discussione ne approfitto per chiedere nuovamente una mano.

Dati [tex]N,S \in S^2[/tex] dove [tex]N=-S[/tex] (ovvero i due punti sono agli antipodi). Chiamo [tex]NS[/tex] il segmento congiungente [tex]N[/tex] ed [tex]S[/tex]. Sia poi [tex]X[/tex] lo spazio ottenuto da [tex]S^2[/tex] identificando [tex]N[/tex] ed [tex]S[/tex]. Come posso mostrare che [tex]S^2 \cup NS[/tex] e [tex]X[/tex] sono omotopicamente equivalenti?

Ho fatto delle prove ricorrendo alla definizione stessa di equivalenza omotopica (cioè ho cercato due funzioni [tex]f:S^2 \cup NS \to X[/tex] e [tex]g:X \to S^2 \cup NS[/tex] tali che [tex]fg[/tex] e [tex]gf[/tex] omotope rispettivamente a [tex]id_{S^2\cup NS}[/tex] ed [tex]id_{X}[/tex]) ma non sono riuscito a raggiungere alcun risultato. Sapreste darmi una mano (o indicarmi un'altra strada da seguire)?

Credo che dovresti fare così (ti do l'idea intuitiva che dovresti provare a formalizzare).
Prendi come $f$ la mappa che manda la sfera in sè e tutto il segmento $NS$ nel punto $P$ di $X$ risultato dell'identificazione di $N$ e $S$ ( e probabilmente questa l'avevi pensata anche tu ).
Per costruire $g$ dividi la sfera nell'emisfero nord $S_1$ e nell'emisfero sud $S_2$ (senza i poli in modo che $S_1$ e $S_2$ li puoi vedere in $X$); e fai in modo che
1) Il punto $P$ venga mandato da $g$ sul polo nord $N$
2) L'emisfero nord $S_1$ venga mandato da $g$ sul resto della sfera; in questo modo l'equatore viene buttato sul polo sud $S$
3) l'emisfero sud $S_1$ venga mandato da $g$ sul segmento $SP$ (in modo che i punti vicini al polo sud vengono mandati vicini a $N$, concordemente con il fatto che $g(P)=N$)

Scrivendo le cose per bene dovrebbe essere abbastanza facile vedere che $f$ e $g$ sono equivalenze omotopiche (conterà il fatto che l'emisfero nord può essere deformato con continuità
fino a ricoprire tutta la sfera meno il polo sud - mentre l'emisfero sud - comprendendoci anche l'equatore - può essere buttato tutto nel polo sud)

[Alexp1]

"cirasa":
Piuttosto io direi che il caso b) non si può verificare perché significa che [tex]$ \frac{t}{1-t}=-1[/tex] ovvero [tex]t=t-1[/tex], cioè [tex]0=-1[/tex] che è palesemente un assurdo.

Ottima osservazione!

[cirasa]

"Alexp":[quote="cirasa"]
...

Ottima osservazione! [/quote]
Grazie Alex!

[Injo]

Grazie tante a tutti.

[tinam73]

Ma come si fa a formalizzare quanto detto da viciousgoblin? qualcuno può scrivere l'equazione della g ?

[tinam73]

"Injo":

2) Mi viene chiesto di mostrare che una mappa [tex]f:S^n \to S^n[/tex] priva di punti fissi è omotopa alla mappa antipodale [tex]\alpha : S^n \to S^n[/tex], [tex]\alpha (x)=-x[/tex]. Io ho ragionato in questo modo:
Ho definito [tex]F:S^n \times [0,1] \to S^n[/tex] con [tex]F(x,t)=\frac{f(x)(1-t)-xt}{||f(x)(1-t)-xt||}[/tex]. Così facendo, le restrizioni di [tex]F[/tex] per [tex]t=0[/tex] e [tex]t=1[/tex] sono rispettivamente [tex]f[/tex] e [tex]\alpha[/tex]. Resta quindi da provare che [tex]F[/tex] sia una mappa continua ben definita. Allora ho notato che il denominatore è nullo se e solo se [tex]f(x)=\frac{xt}{1-t}[/tex]. Inoltre so che [tex]f(x),x \in S^n[/tex] dunque dev'essere [tex]||f(x)||=||x||=1[/tex]. Ma allora [tex]1=||f(x)||=||x||||\frac{t}{1-t}||[/tex] quindi [tex]\frac{t}{1-t} \in \{-1,1\}[/tex]. Ma non può essere [tex]1[/tex] perchè altrimenti si avrebbe [tex]f(x)=x[/tex] mentre la mappa è priva di punti fissi per ipotesi. Quindi il denominatore può essere nullo solo se [tex]f(x)=-x=\alpha (x)[/tex].
Quindi ho concluso che: se [tex]f\neq \alpha[/tex], allora [tex]F[/tex] è l'omotopia tra le due mentre se [tex]f=\alpha[/tex] l'omotopia è l'identità. Quindi sono omotope.
È corretto?

non ho capito perchè dici [tex]\frac{t}{1-t} \in \{-1,1\}[/tex], se $t \in [0,1], [tex]\frac{t}{1-t}[/tex] non può valere $-1$ avrà valori solo positivi.

non si poteva risolverlo semplicemente dicendo che l'omotopia cercata è $F(x,t)=f(x)*(1-t)-t*x$ con $f(x)!=x$ da condizioni iniziali e se $f(x)=\alpha(x)$ allora l'omotopia è l'identità?

Non capisco realmente la necessità di scrivere $F(x,t)$ come [tex]\frac{f(x)(1-t)-xt}{||f(x)(1-t)-xt||}[/tex]...mi potete aiutare a capire?

[apatriarca]

Il denominatore è necessario l'omotopia deve essere definita sulla sfera e non in $RR^n$. Per ogni $x_0$, $F(x_0, t) = f(x_0)(1-t) - tx_0$ è il segmento in $RR^n$ da $f(x_0)$ a $-x_0$ e non appartiene quindi alla sfera. Ma come ho già avuto modo di dire, non è assolutamente necessario ricorrere a calcoli algebrici per dimostrare che la mappa è ben definita e continua in quanto la proiezione sulla sfera con centro l'origine esiste per ogni punto diverso dall'origine e l'unico segmento che passa per l'origine e un punto $x$ della sfera è quello che congiunge $x$ e $-x$. Siccome $f(x) \ne x$ per ogni $x$, allora il segmento da $f(x)$ a $-x$ non può passare per l'origine. Se proprio si vuole ricorrere a qualche calcolo, allora l'osservazione di cirasa corregge le conclusioni sbagliate del post originale di Injo.

[tinam73]

grazie apatriarca per la risposta, però non mi sono chiare il perchè si scrive

[tex]\frac{t}{1-t} \in \{-1,1\}[/tex]
secondo me se $t \in [0,1], [tex]\frac{t}{1-t}[/tex] non può valere $-1$, ma avrà valori solo positivi.

perchè il denominatore serve per rimanere sulla sfera?
e se l'omotopia fosse stata su un paraboloide cosa si faceva?

grazie ancora

[apatriarca]

La proiezione sulla sfera è $x->x/(||x||)$ ed è definita solo per vettori non nulli. Il denominatore serve per normalizzare il vettore, ad avere cioè un vettore di norma 1. Se fosse un paraboloide dovresti usare la proiezione specifica su questa superficie o lavorare direttamente sulla superficie usando coordinate curvilinee. Essendo $t/(1 - t) > 0$ quando $t \in [0, 1]$ allora si poteva anche concludere direttamente che $t/(1 - t) = 1$ e quindi $t = (1 - t)$ e $f(x) = x$, che sarebbe assurdo.

[tinam73]

Grazie ancora ora ho capito solo ancora una cosa, cosa intendi con l'usare le coordinate curvilinee, come si farebbe?

[Alexp1]

Ipotiziamo di avere una mappa $f:M->M'$. Sia $p \in M$ e sia $V$ un intorno di $p$ con relativa parametrizzazione regolare $\phi$. Sia inoltre $W$ un intorno di $f(p)$ in $M'$ con relativa parametrizzazione regolare $\phi'$ attorno a $f(p)$.

Allora si può scrivere la mappa composta $h:=\phi'^(-1)$ $o$ $f$ $o$ $\phi$$:\phi^(-1)(V)->\phi'^(-1)(W)$.

Stessa cosa si ripete con la mappa $g:M->M'$ ottenendo l'applicazione composta $k:=\phi'^(-1)$ $o$ $g$ $o$ $\phi$$:\phi^(-1)(V)->\phi'^(-1)(W)$.

A questo punto le due mappe $h$ e $k$ vanno da $(u,v)$ in $(u',v')$, quindi si sta sulle coordinate locali delle varietà.

Fatto questo si scrive l'omotopia $F: (u,v)X[0,1]->(u',v')$, ossia $F(u,v,t)=h(1-t)+kt$ in questo modo si ottengono i punti in coordinate locali $(u',v')$, cioè si sta su $M'$, perchè gli $(u',v')$ che si ottengono, tramite $\phi'$ ci danno i punti di $M'$.