Omotopia
Buonasera sto trovando difficoltà nel comprendere una parte risolutiva di questo esercizio:
Sia $X$ uno spazio topologico contrattile e sia $Y$ uno sp. Topologico connesso per archi:
sia $[X,Y]$ l'insieme delle classi di equivalenza modulo omotopia di applicazioni continue da $X$ a $Y$
La parte dove ho dubbi è la seguente:
Poiché $X$ è contrattile esiste un'omotopia $F:(X x I)->Y$ tale che $F(x,0)=x$, $F(x,1)=x_0$ $AA x in X$ e $F(x,t)$ è continua.
Sia $f:X->Y$ una generica funzione continua.
Fin qui tutto ok, ciò che non mi è chiaro è la seguente affermazione:
Consideriamo la composizione
$f*F:(X x I)->Y$, allora essa è anch'essa un'omotopia tra $f$ e $g=f(x_0)$
Qualcuno mi spiega come trovare la specifica espressioni di $f*F$?
E come si può affermare che è un'omotopia senza avere la sua espressione?
Grazie
Sia $X$ uno spazio topologico contrattile e sia $Y$ uno sp. Topologico connesso per archi:
sia $[X,Y]$ l'insieme delle classi di equivalenza modulo omotopia di applicazioni continue da $X$ a $Y$
La parte dove ho dubbi è la seguente:
Poiché $X$ è contrattile esiste un'omotopia $F:(X x I)->Y$ tale che $F(x,0)=x$, $F(x,1)=x_0$ $AA x in X$ e $F(x,t)$ è continua.
Sia $f:X->Y$ una generica funzione continua.
Fin qui tutto ok, ciò che non mi è chiaro è la seguente affermazione:
Consideriamo la composizione
$f*F:(X x I)->Y$, allora essa è anch'essa un'omotopia tra $f$ e $g=f(x_0)$
Qualcuno mi spiega come trovare la specifica espressioni di $f*F$?
E come si può affermare che è un'omotopia senza avere la sua espressione?
Grazie
Risposte
"GuidoFretti":
Qualcuno mi spiega come trovare la specifica espressioni di $f*F$?
E a cosa ti dovrebbe servire?
E come si può affermare che è un'omotopia senza avere la sua espressione?
Basta che dimostri che è soddisfatta la definizione, tra l'altro nemmeno di $F$ hai l'espressione, ma sembri non avere problemi con quella.
Si allora per $F(x,t)=(1-t)x + tx_0$.
L'espressione di $f*F$ pensavo fosse possibile ottenerla.
La definizione di omotopia quale intende?
Nel senso quello che ho in mente io è quella "data" per $F$.
Ma senza l'espressione di $f*F$ come posso verificare che $(f*F)(x,0)=f$ e $(f*F)(x,1)=g$?
Grazie
L'espressione di $f*F$ pensavo fosse possibile ottenerla.
La definizione di omotopia quale intende?
Nel senso quello che ho in mente io è quella "data" per $F$.
Ma senza l'espressione di $f*F$ come posso verificare che $(f*F)(x,0)=f$ e $(f*F)(x,1)=g$?
Grazie
"GuidoFretti":
Si allora per $F(x,t)=(1-t)x + tx_0$.
Nessuno ha detto che debba essere questa, o che possa anche solo avere senso.
La definizione di omotopia quale intende?
Fare esercizi/studiare cose sulle omotopie senza saperne la definizione non è esattamente una furbata, quindi assumerò che tu la conosca. Quali cosa bisogna controllare per vedere se una funzione è un'omotopia? Più nello specifico, cosa bisogna sostituire l posto di $(x,t)$?
Non è che non la conosco, ma semplicemente ho questa:
un'omotopia fra due funzioni continue $f$ e $g$ da uno spazio topologico $X$ a uno spazio topologico $Y$ è una funzione continua $M$ dal prodotto $X$ con l'intervallo unitario $[0,1]$ a $Y$ tale che, per tutti i punti $x$ in $X$, $M(x,0)=f(x)$ e $M(x,1)=g(x)$
Ma non conoscendo ora l'espressione di $f*F$, come posso verificare la definizione sopra?
un'omotopia fra due funzioni continue $f$ e $g$ da uno spazio topologico $X$ a uno spazio topologico $Y$ è una funzione continua $M$ dal prodotto $X$ con l'intervallo unitario $[0,1]$ a $Y$ tale che, per tutti i punti $x$ in $X$, $M(x,0)=f(x)$ e $M(x,1)=g(x)$
Ma non conoscendo ora l'espressione di $f*F$, come posso verificare la definizione sopra?
"otta96":
[quote="GuidoFretti"]Si allora per $F(x,t)=(1-t)x + tx_0$.
Nessuno ha detto che debba essere questa, o che possa anche solo avere senso.
La definizione di omotopia quale intende?
Fare esercizi/studiare cose sulle omotopie senza saperne la definizione non è esattamente una furbata, quindi assumerò che tu la conosca. Quali cosa bisogna controllare per vedere se una funzione è un'omotopia? Più nello specifico, cosa bisogna sostituire l posto di $(x,t)$?[/quote]
Avendo visto e usato solo questa definizione non ho idea di cosa debba essere messo al posto di $(x,t)$ onestamente!
Quale definizione allora intende lei? Io la mia l'ho scritta, a questo punto mi sorge spontaneo voler capire a quale si riferisce lei.
Devi mettere $t=0$ e $t=1$.
"otta96":
Devi mettere $t=0$ e $t=1$.
Mi scusi non ho compreso: che debba sostituire $t=0$ e $t=1$ mi è chiaro, ma chi mi assicura la validità che $(f*F)(x,0)=f$ e $(f*F)(x,1)=f(x_0)$ ?
È questo che non riesco a comprendere senza avere l'espressione di $(f*F)$?
Grazie
$(f*F)(x,0)=f(F(x,0))=f(x)=>f*F=f$ e $(f*F)(x,1)=f(F(x,1))$.... finisci tu quest'altra.
Ma in realtà "l'espressione di \(f\circ F\)" si che ce l'hai. E'
\[
f\circ F(x, t)=f(F(x, t)).\]
Ovviamente. Non dovresti avere problemi.
\[
f\circ F(x, t)=f(F(x, t)).\]
Ovviamente. Non dovresti avere problemi.
"otta96":
$(f*F)(x,0)=f(F(x,0))=f(x)=>f*F=f$ e $(f*F)(x,1)=f(F(x,1))$.... finisci tu quest'altra.
$(f*F)(x,1)=f(F(x,1))=f(x_0)=g$
Ho notato una cosa: la composizione $f*F:XxI->X$ o sbaglio?
Altrimenti la composizione non ha senso
No, il codominio è $Y$.
Ho sbagliato a scrivere
$F:XxI->X$, altimetri la composizione non ha poi senso.
O sbaglio?
$F:XxI->X$, altimetri la composizione non ha poi senso.
O sbaglio?
Ah, si giusto, deve essere così sennò non ha senso, non solo la composizione, ma anche che $F(x,0)=x$, scusa se non me ne sono accorto prima.
Grazie mille!
Me ne sono accorto anche io dopo! Sarà un errore di stampa del pdf
Me ne sono accorto anche io dopo! Sarà un errore di stampa del pdf
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