Omotopia

[5mrkv]

C'è una parte nella definizione di omotopia che non mi è chiara e che mi crea confusione nella definizione definizione di sollevamento. Ora se \(f,g:[0,1]\rightarrow X\) sono cammini da \(x_{0}\) ad \(x_{1}\) omotopi, esiste una funzione \(F:[0,1]\times[0,1]\rightarrow X\) tale che \(F(s,0)=f(s)\) \(\forall s \in [0,1]\) etc... Una funzione è insieme definita da un algoritmo e da dominio e codominio. La formula precedente significa certamente che \(F:[0,1]\times\{0\}\rightarrow X\) e \(f:[0,1]\rightarrow X\) hanno lo stesso algoritmo, i domini però sono differenti quindi non si tratta della stessa funzione. Vedo anche che i domini sono omeomorfi tramite l'applicazione \(f:X\rightarrow [0,1]\times\{0\}\) definita come \(f(x)=(x,0)\). Detto questo non so quali conclusioni trarre.

[apatriarca]

Non mi è del tutto chiaro il tuo dubbio. In ogni caso la definizione dice che due cammini \(f,\,g \colon I \to X\) (\(I = [0,1]\)) da \(x_0\) a \(x_1\) sono omotopi se esiste una funzione continua \( F \colon I^2 \to X \) tale che valgano le seguenti condizioni:
1. \( F(0, s) = x_0 \) per ogni \( s \in I \),
2. \( F(1, s) = x_1 \) per ogni \( s \in I \),
3. \( F(t, 0) = f(t) \) per ogni \( t \in I \),
4. \( F(t, 1) = g(t) \) per ogni \( t \in I \).

EDIT: Ma questa definizione ovviamente già ce l'hai.. quale sarebbe allora il tuo dubbio. Stai in pratica chiedendo di avere una funziona continua dal quadrato ad \(X\) con l'immagine del bordo ben determinata e il resto "libero". In questo caso due lati opposti sono mappati ai due punti estremi dei cammini e gli altri due lati sono mandati nelle immagini dei due cammini dei quali stai definendo l'omotopia. Se esiste una funzione fatta in questo modo allora i due cammini sono omotopi.

[5mrkv]

Quando scrivi che \(F(t,0)=f(t)\) intendi che sono uguali algoritmicamente dato che gli insiemi di definizione sono differenti. Quindi, sapendo che \(F(t,0)=f(t)\) in un certo insieme non posso usare il fatto che si tratti della stessa funzione perché in realtà la definizione non dice questo, no? Voglio che prima sia chiaro questo, poi se riesco ad individuare bene il dubbio sulla definizione di sollevamento per una omotopia scrivo anche quello così si capisce cosa intendo.

[apatriarca]

Ma che cosa significa "algoritmicamente" in questo contesto? Non capisco quali sono i tuoi dubbi.. Significa che le loro immagini sono uguali... Prova a pensare a quando definisci ad esempio una funzione ad una dimensione a partire da una a più dimensioni come ad esempio quando fai qualcosa come \( g(t) = f(x_0 + d_x\,t, y_0 + d_y\,t). \) E' ovvio che \(g\) ed \(f\) hanno un dominio molto diverso, in questo caso neanche omeomorfo, ma che importanza ha visto che stai solo definendo come è fatta l'immagine della tua mappa per un particolare valore del dominio della funzione?

[5mrkv]

In genere se le immagini sono identiche le funzioni non hanno lo stesso algoritmo, no? Con algoritmo intendo dire il procedimento che ti dice come trasformare un punto del dominio in uno del codominio. In questo caso come dici tu mostriamo punto per punto li dove ci interesse che l'immagine è la stessa, ovvero sono identiche algoritmicamente per una certa restrizione di \(F\). Comunque ci penserò su.

[apatriarca]

Ti consiglio di iniziare ad usare una terminologia più standard. Non si parla normalmente di algoritmi in topologia (e non l'ho mai sentito comunque usare per indicare la legge che mappa dominio e codominio). Tu non stai mostrando comunque niente, stai definendo[\b] una omotopia \(F\) dicendo che ha una particolare immagine per un sottoinsieme del dominio (o meglio stai restringendo la tua attenzione solo a quelle funzioni \(F\) che rispettano quelle particolari condizioni). Quando definisci una omotopia particolare, allora a quel punto devi mostrare che è continua e che rispetta quelle condizioni.

[5mrkv]

Ok. Grazie.