Omomorfismo spazio di polinomi

[PaoloVerri]

Buonasera, stavo risolvendo questo problema: "Sia $V_2$ lo spazio dei polinomi di grado minore o uguale a due e sia $\varphi: RR^4 ->V_2$ l'applicazione lineare definita da
$\varphi(e_1) = x^2+1, \varphi(e_2) = x^2-1, \varphi(e_3) = x^2+x, \varphi(e_4) = x-2$
dove $e_1, e_2, e_3, e_4$ sono i vettori della base canonica di $RR^4$

1)Dopo aver identificato $V_2$ con $RR^n$ per un valore opportuno di $n∈NN$, si determini la matrice rappresentativa di $\varphi$ rispetto alla base canonica di $RR^4$ e il suo rango.
2)Si determinino i sottospazi Ker$\varphi$ e Im$\varphi$.

Innanzitutto ho pensato di scegliere $n = 4$ perché devo costruire la matrice rappresentativa esprimendo l'immagine dei vari vettori della base canonica di $RR^4$ come combinazione lineare, appunto, della base canonica.
Per esempio, la prima riga della matrice rappresentativa l'ho ricavata così:
$\varphi$ $ ( 1 \ \ 0 \ \ 0 \ \ 0 ) $ = $ ( 1 \ \ 0 \ \ 1 \ \ 0 ) $ = $a_11e1 + a_12e2 + ... + a_14e4$

Ottenendo la matrice rappresentativa

$ ( ( 1 , 0 , 1 , 0 ),( -1 , 0 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 1 , 0 ),( -2 , 1 , 0 , 0 ) ) $

Con la riduzione di Gauss arrivo a constatare che il rango è 3.
Da qui ho dei seri dubbi, per esempio nel caso del calcolo del Ker$\varphi$, su come impostare il sistema.
Penso di avere commesso un errore prima.

[j18eos]

Io avrei scelto \(\displaystyle n=3\), dato che \(\displaystyle V_2\) è canonicamente isomorfo a \(\displaystyle\mathbb{R}^3\); ciò ti dovrebbe semplificare (di non poco) la vita.

[anto_zoolander]

Piuttosto identificherei $RR_2[x]$ con $RR^3$ no? Così ottieni un isomorfismo $L(a,b,c)=a+bx+cx^2$

edit
@jeos

[PaoloVerri]

Grazie.
Dalla matrice associata so che il rango è $3$, che coincide con la dimensione di $RR^3$.
Per il teorema Nullità più Rango la dimensione del Ker non dovrebbe essere 1?
L'impostazione del sistema per il calcolo del Ker mi viene $ { ( 1+x^2 = 0 ),( -x^2 = 0 ),( x + 2x^2 = 0 ):} $

[j18eos]

Tieni presente che \(\displaystyle\{1,x,x^2\}\) sono i vettori della base canonica di \(\displaystyle V_2\) e come tali li devi trattare; non devi continuare a trattarli come se fossero dei polinomi "puri e crudi".

[Bokonon]

@Paolo
$varphi(e_1) = 1+0*x+1*x^2$ significa che l'applicazione manda $e_1$ in un polinomio che possiamo associare al vettore dei coefficienti <1,0,1>. Nota bene che questa è l'immagine di $e_1$ e che la matrice M associata a $varphi$ ha dimensioni (3x4).
Quando moltiplichiamo $Me_1=M( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) =( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) )$ significa fare la seguente combinazione lineare delle colonne di M:
la prima colonna moltiplicata per 1 + la seconda colonna moltiplicata per zero + la terza colonna moltiplicata per zero + la quarta colonna moltiplicata per zero = <1,0,1>
In altre parole $( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) )$ è la prima colonna di M....e a seguire le altre colonne.

Quindi $ M=( ( 1 , -1 , 0 , -2 ),( 0 , 0 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 , 0 ) ) $

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