Omomorfismo e trasformazione lineare
salve gente!!
vorrei chiedere a qualcuno di navigato la definizione di trasformazione lineare e omomorfismo perche guardando su internet su vari siti ho trovato varie definizioni e alcuni talvolta parlano di trasformazione lineare o di omomorfismo indistintamente mentre a volte paiono essere due cose diverse...
a me pare che una trasformazione lineare sia un omomorfismo di spazi vettoriali,cioè un particolare caso di omomorfismo in cui la struttura algebrica è lo spazio vettoriale.
dico giusto?
grazie!
vorrei chiedere a qualcuno di navigato la definizione di trasformazione lineare e omomorfismo perche guardando su internet su vari siti ho trovato varie definizioni e alcuni talvolta parlano di trasformazione lineare o di omomorfismo indistintamente mentre a volte paiono essere due cose diverse...
a me pare che una trasformazione lineare sia un omomorfismo di spazi vettoriali,cioè un particolare caso di omomorfismo in cui la struttura algebrica è lo spazio vettoriale.
dico giusto?
grazie!
Risposte
Esatto 
L'omomorfismo è una funzione che preserva la struttura tra due strutture algebriche, siano esse spazi vettoriali, gruppi, anelli, etc. Le applicazioni lineari sono le funzioni che preservano la struttura tra spazi vettoriali, ovvero sono gli omomorfismi tra campi vettoriali.
L'omomorfismo è una funzione che preserva la struttura tra due strutture algebriche, siano esse spazi vettoriali, gruppi, anelli, etc. Le applicazioni lineari sono le funzioni che preservano la struttura tra spazi vettoriali, ovvero sono gli omomorfismi tra campi vettoriali.
ah ok
mi sono letto la definizione di omomorfismo ma vorrei qualche chiarimento,se possibile:
"In algebra astratta, un omomorfismo è un'applicazione tra due strutture algebriche dello stesso tipo che conserva le operazioni in esse definite. Questo oggetto, calato nel contesto più astratto della teoria delle categorie, prende il nome di morfismo."
dunque perche si parli di omomorfismo l'applicazione deve avere come insieme di arrivo e come insieme di partenza insiemi di sostegno diversi o uguali ma comunque sia accomunati dal fatto che assieme a un'operazione a essi associati entrambi diano origine a una struttura algebrica dello stesso tipo (ad esempio due campi,o due spazi vettoriali o due magmi )....giusto ?
in secondo la definizione si fa piu formale e la condizione affinche un'applicazione sia un omomorfismo è:
\( \varphi:A\rightarrow B \)
\( \varphi (u*v)=\varphi(u)\star \varphi (v) \)
per ogni coppia di elementi \( (u,v) \) di \( A \) , dove \( * \) e \( \star \) sono le operazioni binarie di \( A \) e \( B \) rispettivamente....
ma quindi per verificare che si tratti di un omomorfismo devo usare questa definizione? e ad esempio negli spazi vettoriali considerati l'insieme A e B è possibile che questi abbiano due operazioni diverse \( * \) e \( \star \) ?
grazie!
mi sono letto la definizione di omomorfismo ma vorrei qualche chiarimento,se possibile:
"In algebra astratta, un omomorfismo è un'applicazione tra due strutture algebriche dello stesso tipo che conserva le operazioni in esse definite. Questo oggetto, calato nel contesto più astratto della teoria delle categorie, prende il nome di morfismo."
dunque perche si parli di omomorfismo l'applicazione deve avere come insieme di arrivo e come insieme di partenza insiemi di sostegno diversi o uguali ma comunque sia accomunati dal fatto che assieme a un'operazione a essi associati entrambi diano origine a una struttura algebrica dello stesso tipo (ad esempio due campi,o due spazi vettoriali o due magmi )....giusto ?
in secondo la definizione si fa piu formale e la condizione affinche un'applicazione sia un omomorfismo è:
\( \varphi:A\rightarrow B \)
\( \varphi (u*v)=\varphi(u)\star \varphi (v) \)
per ogni coppia di elementi \( (u,v) \) di \( A \) , dove \( * \) e \( \star \) sono le operazioni binarie di \( A \) e \( B \) rispettivamente....
ma quindi per verificare che si tratti di un omomorfismo devo usare questa definizione? e ad esempio negli spazi vettoriali considerati l'insieme A e B è possibile che questi abbiano due operazioni diverse \( * \) e \( \star \) ?
grazie!
@xshadow,
personalmente ti potrei suggerire di vederle singolarmente da struttura in struttura.. nel caso generale quel:
; ai tempi ho preferito vedere gli omomorfismi singolarmente nelle varie strutture algebriche e non generalmente** ergo preferisco lasciare a qualcun'altro il piacere di scrivere la definizione precisa di omomorfismo in algebra astratta)...!!
p.s.=http://de.wikipedia.org/wiki/Homomorphismus#Definition
[size=50]*scusa se linko pagine in tedesco (ma sono in germania)
**colpa del docente anche che non capiva un "mazzo di niente"..[/size]
personalmente ti potrei suggerire di vederle singolarmente da struttura in struttura.. nel caso generale quel:
"xshadow":andrebbe formalizzato usando il concetto di arietà* (non vorrei ricordare male
.. dello stesso tipo ..
; ai tempi ho preferito vedere gli omomorfismi singolarmente nelle varie strutture algebriche e non generalmente** ergo preferisco lasciare a qualcun'altro il piacere di scrivere la definizione precisa di omomorfismo in algebra astratta)...!!p.s.=http://de.wikipedia.org/wiki/Homomorphismus#Definition
[size=50]*scusa se linko pagine in tedesco (ma sono in germania)
**colpa del docente anche che non capiva un "mazzo di niente"..[/size]
"xshadow":
"In algebra astratta, un omomorfismo è un'applicazione tra due strutture algebriche dello stesso tipo che conserva le operazioni in esse definite. Questo oggetto, calato nel contesto più astratto della teoria delle categorie, prende il nome di morfismo."
Mi ero morso la lingua per non citare i morfismi che si usano in TdC, ma li hai tirati fuori tu
"xshadow":
dunque perche si parli di omomorfismo l'applicazione deve avere come insieme di arrivo e come insieme di partenza insiemi di sostegno diversi o uguali ma comunque sia accomunati dal fatto che assieme a un'operazione a essi associati entrambi diano origine a una struttura algebrica dello stesso tipo (ad esempio due campi,o due spazi vettoriali o due magmi )....giusto ?
Sì è corretto.
"xshadow":
in secondo la definizione si fa piu formale e la condizione affinche un'applicazione sia un omomorfismo è:
\( \varphi:A\rightarrow B \)
\( \varphi (u*v)=\varphi(u)\star \varphi (v) \)
per ogni coppia di elementi \( (u,v) \) di \( A \) , dove \( * \) e \( \star \) sono le operazioni binarie di \( A \) e \( B \) rispettivamente....
ma quindi per verificare che si tratti di un omomorfismo devo usare questa definizione? e ad esempio negli spazi vettoriali considerati l'insieme A e B è possibile che questi abbiano due operazioni diverse \( * \) e \( \star \) ?
Considera ad esempio l'omomorfismo tra uno spazio vettoriale $V$ e il suo duale \(V^*\) (che in realtà è un isomorfismo). L'operazione \(+\) in \(V\) è quella tra vettori, che è ben diversa dall'operazione \(+\) in \(V^*\) che è quella tra funzionali. Quindi si tratta di operazioni diverse e quindi se volessimo essere super precisi dovremmo utilizzare due simboli diversi
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo