Omomorfismo e spazi vettoriali
Salve, avrei bisogno di una mano con questo esercizio di cui ho capito ben poco.
C'è qualcuno così gentile che riuscirebbe a spiegarmi in che modo andrebbe risolto?
Grazie in anticipo, buona giornata!
S e T sono sottospazi vettoriali di uno spazio P avente dimensione 3 (già dimostrato)
$ S = {p(x) in mathbb(R)[x] |p(x) = 2ax^2 -ax, a in mathbb(R)} $
$ T = {p(x) in mathbb(R)[x] |p(x) = ax^3+bx^2+cx+d,a-b+c-d=0} $
Calcolare le dimensioni e le basi per $ T,S,Snn T,S+T $
C'è qualcuno così gentile che riuscirebbe a spiegarmi in che modo andrebbe risolto?
Grazie in anticipo, buona giornata!
S e T sono sottospazi vettoriali di uno spazio P avente dimensione 3 (già dimostrato)
$ S = {p(x) in mathbb(R)[x] |p(x) = 2ax^2 -ax, a in mathbb(R)} $
$ T = {p(x) in mathbb(R)[x] |p(x) = ax^3+bx^2+cx+d,a-b+c-d=0} $
Calcolare le dimensioni e le basi per $ T,S,Snn T,S+T $
Risposte
\(P\) è lo spazio dei polinomi reali di grado al più \(2\)?
Calcolare la dimensione di \(S\) e \(T\) non dovrebbe essere difficile. Che problemi trovi?
[xdom="vict85"]Sposto in Geometria e Algebra lineare.[/xdom]
Calcolare la dimensione di \(S\) e \(T\) non dovrebbe essere difficile. Che problemi trovi?
[xdom="vict85"]Sposto in Geometria e Algebra lineare.[/xdom]
Io vedo un cubo quindi il più piccolo fra gli spazi vettoriali che contiene sia S che T è lo spazio dei polinomi di grado $<=3$. Ergo P ha dimensione 4.
Considerando solo dimensioni e basi di S e di T,
Per S posso notare che la dimensione è 1 in quanto possiede come span $ < ( ( 0 ),( 2x^2 ),( -x ),( 0 ) ) > $ e corrisponde anche a una base di S.
Per T invece, siccome sottospazio di S deve necessariamente avere dimensione $ <= 3 $ (dato che se avesse dimensione 4 avremmo $ P=T $ ).
Successivamente i 4 parametri che definiscono T dovrebbero essere riscritti in funzione di uno solo: $ a=b-c+d $
Fatto ciò, considerando $ ax^3+bx^2+cx+d $ e ponendo tutti i parametri a 0 tranne uno si ottengono 3 vettori $ in T $ :
$ ( ( x^3 ),( x^2 ) ) $ con $ (b=1,c=0,d=0) $
$ ( ( x^3 ),( -x ) ) $ con $ (b=0,c=1,d=0) $
$ ( ( x^3 ),( 1 ) ) $ con $ (b=0,c=0,d=1) $
Quindi T ha span $ < ( ( x^3 ),( x^2 ) )( ( x^3 ),( -x ) )( ( x^3 ),( 1 ) )> $. Inoltre siccome questi vettori sono linearmente indipendenti, sono anche una base di T.
Siccome posseggo 3 vettori indipendenti, posso affermare che T abbia dimensione 3.
Riassumendo:
S ha dimensione $ 1 $ e base $ ( ( 0 ),( 2x^2 ),( -x ),( 0 ) ) $
T ha dimensione $ 3 $ e base $ ( ( x^3 ),( x^2 ) )( ( x^3 ),( -x ) )( ( x^3 ),( 1 ) ) $
Qualora però volessi rispondere alla domanda in riferimento a T (trovare dimensione e base) con Omomorfismo, non mi è chiaro come procedere
Cercando, ho trovato un esercizio simile che pone $ T=ker(f) $, come mai è stato posto $ T=ker(f) $?, come trovo la dimensione del $ ker(f) $ per trovare la dimensione di T? E per la base come procedo?
Scusatemi, sono molto confuso su questo argomento.
Grazie per la pazienza
Per S posso notare che la dimensione è 1 in quanto possiede come span $ < ( ( 0 ),( 2x^2 ),( -x ),( 0 ) ) > $ e corrisponde anche a una base di S.
Per T invece, siccome sottospazio di S deve necessariamente avere dimensione $ <= 3 $ (dato che se avesse dimensione 4 avremmo $ P=T $ ).
Successivamente i 4 parametri che definiscono T dovrebbero essere riscritti in funzione di uno solo: $ a=b-c+d $
Fatto ciò, considerando $ ax^3+bx^2+cx+d $ e ponendo tutti i parametri a 0 tranne uno si ottengono 3 vettori $ in T $ :
$ ( ( x^3 ),( x^2 ) ) $ con $ (b=1,c=0,d=0) $
$ ( ( x^3 ),( -x ) ) $ con $ (b=0,c=1,d=0) $
$ ( ( x^3 ),( 1 ) ) $ con $ (b=0,c=0,d=1) $
Quindi T ha span $ < ( ( x^3 ),( x^2 ) )( ( x^3 ),( -x ) )( ( x^3 ),( 1 ) )> $. Inoltre siccome questi vettori sono linearmente indipendenti, sono anche una base di T.
Siccome posseggo 3 vettori indipendenti, posso affermare che T abbia dimensione 3.
Riassumendo:
S ha dimensione $ 1 $ e base $ ( ( 0 ),( 2x^2 ),( -x ),( 0 ) ) $
T ha dimensione $ 3 $ e base $ ( ( x^3 ),( x^2 ) )( ( x^3 ),( -x ) )( ( x^3 ),( 1 ) ) $
Qualora però volessi rispondere alla domanda in riferimento a T (trovare dimensione e base) con Omomorfismo, non mi è chiaro come procedere
Cercando, ho trovato un esercizio simile che pone $ T=ker(f) $, come mai è stato posto $ T=ker(f) $?, come trovo la dimensione del $ ker(f) $ per trovare la dimensione di T? E per la base come procedo?
Scusatemi, sono molto confuso su questo argomento.
Grazie per la pazienza
P ha dimensione 4.
T ha dimensione 1 perchè, come hai correttamente scritto, è span di (0,2,-1,0).
S ha dimensione 3. Dal vincolo prendiamo, per esempio, d=a-b+c, per cui abbiamo che S è span di:
$ ( ( a ),( b ),( c ),( a-b+c ) ) =a( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) + b( ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( -1 ) )+ c( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 1 ) ) $
(Si poteva facilmente intuire la dimensione di S perchè è sostanzialmente P + un vincolo che riduce i suoi gradi libertà di 1).
Dovresti riuscire a proseguire da solo ora.
T ha dimensione 1 perchè, come hai correttamente scritto, è span di (0,2,-1,0).
S ha dimensione 3. Dal vincolo prendiamo, per esempio, d=a-b+c, per cui abbiamo che S è span di:
$ ( ( a ),( b ),( c ),( a-b+c ) ) =a( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) + b( ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( -1 ) )+ c( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 1 ) ) $
(Si poteva facilmente intuire la dimensione di S perchè è sostanzialmente P + un vincolo che riduce i suoi gradi libertà di 1).
Dovresti riuscire a proseguire da solo ora.
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