Omomorfismo e matrici di rotazione attorno agli assi
Ciao a tutti! Volevo chiedervi se potreste aiutarmi con questo esercizio, mi è capitato nel mio ultimo esame di matematica e mi ha messo in crisi. Ecco la consegna:
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Determinare l'omomorfismo $f : RR^3 \to RR^3$ che fa ruotare il piano coordinato (y,z) di $\pi/4$ in senso antiorario attorno all'asse x e manda il vettore (1,1,1) in (2,1,1), scrivendone la matrice associata rispetto alle basi canoniche del dominio e del codominio.
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Allora, solo dopo l'esame ho scoperto che quando parliamo di rotazione di un piano attorno all'asse x dobbiamo utilizzare la matrice $((1,0,0),(0,costheta,-sintheta),(0,sintheta,costheta))$
Quindi dato che $\theta$ vale $\pi/4$, la nostra matrice diventa $((1,0,0),(0,sqrt(2)/2,-sqrt(2)/2),(0,sqrt(2)/2,sqrt(2)/2))$.
Il problema però è che non so come utilizzarla. Ho provato ad applicarla al vettore (1,1,1), però questo non va a finire in (2,1,1) come scritto nella consegna, ma in (1,0,$sqrt(2)$). Quindi come posso trovare la matrice giusta tale che possa avere quella trasformazione? Cioè $f(1,1,1) = (2,1,1)$ ?
Grazie mille a chiunque possa aiutarmi
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Determinare l'omomorfismo $f : RR^3 \to RR^3$ che fa ruotare il piano coordinato (y,z) di $\pi/4$ in senso antiorario attorno all'asse x e manda il vettore (1,1,1) in (2,1,1), scrivendone la matrice associata rispetto alle basi canoniche del dominio e del codominio.
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Allora, solo dopo l'esame ho scoperto che quando parliamo di rotazione di un piano attorno all'asse x dobbiamo utilizzare la matrice $((1,0,0),(0,costheta,-sintheta),(0,sintheta,costheta))$
Quindi dato che $\theta$ vale $\pi/4$, la nostra matrice diventa $((1,0,0),(0,sqrt(2)/2,-sqrt(2)/2),(0,sqrt(2)/2,sqrt(2)/2))$.
Il problema però è che non so come utilizzarla. Ho provato ad applicarla al vettore (1,1,1), però questo non va a finire in (2,1,1) come scritto nella consegna, ma in (1,0,$sqrt(2)$). Quindi come posso trovare la matrice giusta tale che possa avere quella trasformazione? Cioè $f(1,1,1) = (2,1,1)$ ?
Grazie mille a chiunque possa aiutarmi
Risposte
Per trovare l'endomorfismo (che chiamo f) farei come segue.
Intanto sai che è \(\displaystyle f(^{t}(1,1,1))=^{t}(2,1,1) \) e quindi per trovare f basta calcolare le immagini di due altri vettori
di \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \) ,indipendenti tra loro e dal vettore \(\displaystyle ^{t}(1,1,1) \). Questi due altri vettori conviene prenderli nel piano yz perché le loro immagini possono essere calcolate con la matrice di rotazione M. Scegliamo allora i vettori \(\displaystyle ^{t}(0,0,1),^{t}(0,1,0) \); le corrispondenti immagini sono:
\(\displaystyle f(^{t}(0,0,1))=M\cdot ^{t}(0,0,1)=^{t}\left (0,-\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2} \right)\)
\(\displaystyle f(^{t}(0,1,0))=M\cdot ^{t}(0,1,0)=^{t}\left (0,\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2} \right)\)
Abbiamo dunque tre vettori l.i. e le corrispondenti immagini e quindi f è determinata.
Svolgendo i soliti calcoli si trova che :
\(\displaystyle f(x,y,z)=\left (2x,x+\frac{\sqrt2}{2}y-\frac{\sqrt2}{2}z,(1-\sqrt2)x+\frac{\sqrt2}{2}y+\frac{\sqrt2}{2}z \right) \)
Ho fatto delle verifiche e mi pare che funzioni.
Intanto sai che è \(\displaystyle f(^{t}(1,1,1))=^{t}(2,1,1) \) e quindi per trovare f basta calcolare le immagini di due altri vettori
di \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \) ,indipendenti tra loro e dal vettore \(\displaystyle ^{t}(1,1,1) \). Questi due altri vettori conviene prenderli nel piano yz perché le loro immagini possono essere calcolate con la matrice di rotazione M. Scegliamo allora i vettori \(\displaystyle ^{t}(0,0,1),^{t}(0,1,0) \); le corrispondenti immagini sono:
\(\displaystyle f(^{t}(0,0,1))=M\cdot ^{t}(0,0,1)=^{t}\left (0,-\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2} \right)\)
\(\displaystyle f(^{t}(0,1,0))=M\cdot ^{t}(0,1,0)=^{t}\left (0,\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2} \right)\)
Abbiamo dunque tre vettori l.i. e le corrispondenti immagini e quindi f è determinata.
Svolgendo i soliti calcoli si trova che :
\(\displaystyle f(x,y,z)=\left (2x,x+\frac{\sqrt2}{2}y-\frac{\sqrt2}{2}z,(1-\sqrt2)x+\frac{\sqrt2}{2}y+\frac{\sqrt2}{2}z \right) \)
Ho fatto delle verifiche e mi pare che funzioni.
Sì mi torna tutto, finalmente ho capito, grazie mille!!!
Vorrei però chiedere un'ultima cosa che non sono sicura di aver capito. Hai detto che per trovare f dobbiamo usare altri due vettori indipendenti da (1,1,1), e quindi hai scelto (0,1,0) e (0,0,1) perché conviene prenderli nel piano yz. Conviene nel senso che dato che il piano ruota attorno all'asse x (che rimarrebbe quindi invariato) bisogna utilizzare dei vettori legati ai piani che "cambiano"? E quindi se il testo chiedeva ad esempio di trovare l'omomorfismo che fa ruotare il piano attorno all'asse z, i vettori da scegliere sarebbero stati (1,0,0) e (0,1,0)?
Vorrei però chiedere un'ultima cosa che non sono sicura di aver capito. Hai detto che per trovare f dobbiamo usare altri due vettori indipendenti da (1,1,1), e quindi hai scelto (0,1,0) e (0,0,1) perché conviene prenderli nel piano yz. Conviene nel senso che dato che il piano ruota attorno all'asse x (che rimarrebbe quindi invariato) bisogna utilizzare dei vettori legati ai piani che "cambiano"? E quindi se il testo chiedeva ad esempio di trovare l'omomorfismo che fa ruotare il piano attorno all'asse z, i vettori da scegliere sarebbero stati (1,0,0) e (0,1,0)?
Direi che si è obbligati a scegliere vettori del piano yz. Non solo perché "cambiano" ma soprattutto perché cambiano in maniera nota, attraverso la matrice di rotazione. Ovviamente se la rotazione avvenisse attorno
ad un asse diverso si sceglierebbero vettori adeguati alla nuova situazione ( per esempio come hai detto tu).
ad un asse diverso si sceglierebbero vettori adeguati alla nuova situazione ( per esempio come hai detto tu).
Perfetto ora mi è tutto chiaro. Grazie mille per l'aiuto! 
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