Omomorfismo di gruppi di Lie (esempio)
Salve a tutti. Vi riporto il seguente omomorfismo di Lie:
$\phi: (RR,+)->HsubGL(2,CC)$ che manda $x->((e^(i2\pix),0),(0,e^(i2\piax)))$ dove $a$ è un numero irrazionale.
Come dimostro che l'immagine di $\phi(x)$ non è chiusa in $GL(2,CC)$?
Grazie per l'attenzione e per qualunque tipo di aiuto offerto.
$\phi: (RR,+)->HsubGL(2,CC)$ che manda $x->((e^(i2\pix),0),(0,e^(i2\piax)))$ dove $a$ è un numero irrazionale.
Come dimostro che l'immagine di $\phi(x)$ non è chiusa in $GL(2,CC)$?
Grazie per l'attenzione e per qualunque tipo di aiuto offerto.
Risposte
Vedi un po' che succede per \(x\to \infty\).
Purtroppo non ho ancora chiaro a cosa io voglia arrivare per dimostrarlo. Potresti essere più esplicito?
Grazie della comprensione.
Grazie della comprensione.
Purtroppo no, non lo so, non ho risolto l'esercizio. Ma è chiaro che se succede qualcosa di strano, deve essere a $x\to \infty$. L'immagine di $\phi$ ristretto a un intervallo compatto è chiaramente un chiuso di $GL(2)$. Perciò bisogna per forza mettersi su un intervallo illimitato. Ma poi cosa succede esattamente non lo so. Prova almeno a scrivere cosa significa per l'immagine non essere chiusa. Cosa devi costruire, esattamente?
Sarebbe bello desumere dal fatto che $H$ non contiene un suo punto di accumulazione che esso non è chiuso, ma purtroppo (a meno che non mi sfugga qualcosa) il limite per \(x\to\infty\) di \(\phi\) non esiste. Da qualche parte devi usare l'irrazionalità di $a$, evidentemente...
Mi sembra sospettosamente simile a quella cosa che chiede di dimostrare che $f:RR->S^1\timesS^1$ con $f(t)=(t,at)$ con $a$ irrazionale abbia immagine densa.
Semmai \(t\mapsto (e^{it},e^{ait})\), ma è proprio la stessa domanda; il fatto è che mi sembra $H$ non sia denso in GL(2,C)...
No, certamente non è denso. La distanza tra un elemento di \(H\) e la matrice
\[
\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{bmatrix}\]
è sempre maggiore di \(1\). Però il parallelo con \(\mathbb S^1\) suggerisce che \(H\) sia denso in qualcosa di più grande. Il qualcosa di più grande potrebbe essere l'insieme delle matrici con autovalori di modulo unitario
\[
\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{bmatrix}\]
è sempre maggiore di \(1\). Però il parallelo con \(\mathbb S^1\) suggerisce che \(H\) sia denso in qualcosa di più grande. Il qualcosa di più grande potrebbe essere l'insieme delle matrici con autovalori di modulo unitario
"dissonance":
Purtroppo no, non lo so, non ho risolto l'esercizio. Ma è chiaro che se succede qualcosa di strano, deve essere a $ x\to \infty $. L'immagine di $ \phi $ ristretto a un intervallo compatto è chiaramente un chiuso di $ GL(2) $. Perciò bisogna per forza mettersi su un intervallo illimitato. Ma poi cosa succede esattamente non lo so. Prova almeno a scrivere cosa significa per l'immagine non essere chiusa. Cosa devi costruire, esattamente?
Il mio obiettivo è dimostrare che l'immagine del mio omomorfismo (che è subset di $H$ e dunque di $GL(2,CC)$) non è un matrix Lie Group, ovvero che non è isomorfo ad un sottogruppo di Lie di $GL(2,CC)$. La condizione di sottogruppo è soddisfatta quindi deve venire meno la condizione che sia un sottogruppo di Lie ovvero che sia un sottogruppo chiuso di $GL(2,CC)$ (in modo da non poter applicare il teorema di Cartan).
La domanda resta la stessa potendo considerare qualsiasi omomorfismo di Lie $\phi$ tra $GsubGL(n_1,CC)$ e $HsubGL(n_2,CC)$ arrivando a dimostrare che l'immagine di $\phi$ non è necessariamente un Matrix Lie Group.
L'omomorfismo che ho riportato nella prima domanda era un suggerimento sul modo di procedere ma qualsiasi altro modo è comunque valido.
Mmmh, che casino. Concretamente, cosa hai intenzione di fare per dimostrare che quello non è un insieme chiuso?
"dissonance":
Il qualcosa di più grande potrebbe essere l'insieme delle matrici con autovalori di modulo unitario
Mi sa le matrici diagonali con autovalori di modulo unitario, che in effetti è la cosa che dicevo io (l'ho scritta anche un po' male la funzione, a scriverla bene era più chiaro che era la stessa cosa, doveva essere $f(t)=(e^(it),e^(ait))$).
A quanto sembra spulciando i vari siti questo tipo di omomorfismo è uno dei più usati come esempio di non-closed subgroup così da non poter applicare Cartan. Alcuni testi danno per scontato che l'immagine di $\phi$ sia densa sul Toro $T^2$, mentre altri usano metodi fuori dalla mia portata.
Lascio qui due link di wikipedia sull'argomento:
https://en.wikipedia.org/wiki/Closed-su ... d_subgroup
https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_fl ... of_a_torus
Le poche nozioni sull'argomento che ho sono sui moti quasi periodici sul toro e che un moto descritto su di esso da $(\theta_1(t),\theta_2(t))$ è denso se il rapporto tra le due frequenze $\omega_1$ e $\omega_2$ è irrazionale, $\omega_2/\omega_1notinQQ$.
Se qualcosa del genere può essere usato per giustificare in maniera semplice il fatto che l'immagine di $\phi$ non sia chiusa sarebbe perfetto. So che non sarà comunque molto rigoroso ma serve più che altro per non dare per scontato la risoluzione dell'esercizio.
Lascio qui due link di wikipedia sull'argomento:
https://en.wikipedia.org/wiki/Closed-su ... d_subgroup
https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_fl ... of_a_torus
Le poche nozioni sull'argomento che ho sono sui moti quasi periodici sul toro e che un moto descritto su di esso da $(\theta_1(t),\theta_2(t))$ è denso se il rapporto tra le due frequenze $\omega_1$ e $\omega_2$ è irrazionale, $\omega_2/\omega_1notinQQ$.
Se qualcosa del genere può essere usato per giustificare in maniera semplice il fatto che l'immagine di $\phi$ non sia chiusa sarebbe perfetto. So che non sarà comunque molto rigoroso ma serve più che altro per non dare per scontato la risoluzione dell'esercizio.
Se puoi usare il fatto che ho detto io hai praticamente finito perchè è la stessa cosa: prendi una matrice diagonale a autovalori complessi $\lambda_1, \lambda_2$ di modulo $1$ e hai che sta nella chiusura dell'immagine perchè $(\lambda_1,\lambda_2)$ è nella chiusura della funzione che ho detto io (aggiungici il $\pi$ all'esponente per far funzionare bene le cose).
"otta96":
Se puoi usare il fatto che ho detto io hai praticamente finito perchè è la stessa cosa: prendi una matrice diagonale a autovalori complessi $\lambda_1, \lambda_2$ di modulo $1$ e hai che sta nella chiusura dell'immagine perchè $(\lambda_1,\lambda_2)$ è nella chiusura della funzione che ho detto io (aggiungici il $\pi$ all'esponente per far funzionare bene le cose).
Scusa non ho capito cosa dovrei fare
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