Omomorfismo

[Gegge1]

Buongiorno a tutti!
Ho un problema con un esercizio che è stato proposto per l'esame di complementi di matematica.

Riporto il testo:

Determinare l' (unico) omomorfismo \(\phi : R3 \rightarrow R3\) che fa ruotare il piano coordinato (y,z) di \(\pi\)/4 in senso antiorario attorno all'asse x e manda il vettore (1,1,1) in (2,1,1), scrivendone la matrice associata rispetto alle basi canoniche del dominio e del codominio.

In pratica non riesco a capire come sfruttare il dato che mi viene dato, cioè la rotazione del piano in senso antiorario.

Grazie per l'aiuto!

[Sk_Anonymous]

Un omomorfismo di quel tipo è determinato nel momento in cui si conoscono le immagini d tre vettori di \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \) linearmente indipendenti. Uno ce l'hai già ed è il vettore (1,1,1) che ha per immagine l'altro vettore (2,1,1); puoi trovarne altri due scegliendo due vettori del piano yz ( di equazione x=0) e calcolarne le rispettive immagini tramite le equazioni della rotazione:
(1) \(\displaystyle \begin{cases} x'=x\\y'=\frac{\sqrt2}{2}(y-z)\\z'=\frac{\sqrt2}{2}(y+z)\end{cases} \)
Scegliamo come altri vettori i seguenti : (0,1,0),(0,0,1) e troviamone le immagini tramite le (1) :
\(\displaystyle f(0,1,0)=\left(0,\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2}\right),f(0,0,1)=\left(0,-\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2}\right) \)
Ed inoltre :
\(\displaystyle f(1,1,1)=(2,1,1) \)
Siccome i tre vettori scelti (0,1,0),(0,0,1),(1,1,1) sono linearmente indipendenti ( puoi verificarlo da solo) stiamo a cavallo ( ) e abbiamo tutti gli elementi per calcolare l'omomorfismo richiesto. Facendo il solito procedimento, che certamente conosci, hai le equazioni dell'omomorfismo :
\(\displaystyle f(x,y,z)=\left(2x,x+\frac{\sqrt 2}{2}(y-z),(1-\sqrt2)x+\frac{\sqrt 2}{2}(y+z) \right ) \)