Omomorfismi indotti dall'inclusione
a) $f$ è una retrazione, non è per forza $fj=1$, ma $fj'=1$ per qualche $j' : A\to X$; per il resto sì, si fa proprio così.
b) Hai sostanzialmente ridimostrato che un retratto di deformazione è un'equivalenza omotopica.
c) Prendi la sfera e l'inclusione nel disco (in dimensione $n\ge 2$).
b) Hai sostanzialmente ridimostrato che un retratto di deformazione è un'equivalenza omotopica.
c) Prendi la sfera e l'inclusione nel disco (in dimensione $n\ge 2$).
Risposte
1) "Essere una retrazione" significa avere un'inversa destra; tu hai $j : A\to X$, e hai chiesto che $f$ sia una retrazione, quindi $f$ ha un'inversa destra. Quando avresti chiesto che tale inversa destra sia $j$?
2) sì.
3) Il mio esempio è il tuo, a meno di omotopia.
2) sì.
3) Il mio esempio è il tuo, a meno di omotopia.
"arnett":
1) Non riesco a convincermi di non averlo richiesto, ma ci rifletterò ancora un po'
Tu hai chiesto che $j : A\subseteq X$, e che $f : X\to A$ sia una retrazione; $f$ ha perciò un'inversa destra $i$, cioè vale che $f \circ i=1_A$. Fai poi l'ipotesi che $j\circ f$ sia omotopa a $1_X$, e questo significa che $i$ e $j$ sono omotope, ma in nessun caso hai supposto, cosa che infatti è falsa, che l'inversa destra di $f$ sia $j$.
Continui a non capire quello che dico; ci provo un'ultima volta, poi basta, perché in retrospettiva non è molto importante.
Il testo che hai riportato parla di un'inclusione \(j : A\subseteq X\), e di una funzione continua \(f : X\to A\) che sia una retrazione.
Fino ad ora non c'è una relazione tra \(f\) e \(j\), sono funzioni in direzioni opposte tra \(X\) ed \(A\) che non si parlano in nessun modo.
Ora, però, se chiedi che \(f\) sia una retrazione, per l'unica definizione possibile di cosa significa essere una retrazione in una categoria \(\mathcal C\), \(f\) ammette un'inversa destra, ossia esiste \(i\) tale che \(f\circ i\) sia l'identità. Ti invito a notare che \(i\) non è uguale a \(j\).
Lo ripeto, perché è la cosa che continua a sfuggirti: \(i\) non è uguale a \(j\).
Se ora fai l'ipotesi che esista un'omotopia tra \(j\circ f\) e \(1_X\), però, per un argomento del tutto analogo a quello che afferma che gli inversi di un morfismo, quando esistono, sono unici, puoi dimostrare facilmente che \(i\) e \(j\) devono essere omotope, ovvero (secondo definizione) deve esistere una mappa continua \(H_{ij} : A\times[0,1]\to X\) tale che \(H_{ij}|_0=i\) e \(H_{ij}|_1 = j\).
L'errore è questo: tu fin dall'inizio sembri assumere che \(f\) sia sì una retrazione, ma che la sua inversa destra fosse \(j\). O ti sei dimenticato di dirlo, e però non te ne sei accorto finora, oppure credevi fosse automatico; non lo è: \(i\) e \(j\) sono rappresentanti della stessa classe di omotopia di mappe \([\varphi] : A\to X\) nella categoria dell'omotopia \(\textbf{Ho}(\text{Top})\), ma non sono la stessa mappa in \(\text{Top}\).
Il testo che hai riportato parla di un'inclusione \(j : A\subseteq X\), e di una funzione continua \(f : X\to A\) che sia una retrazione.
Fino ad ora non c'è una relazione tra \(f\) e \(j\), sono funzioni in direzioni opposte tra \(X\) ed \(A\) che non si parlano in nessun modo.
Ora, però, se chiedi che \(f\) sia una retrazione, per l'unica definizione possibile di cosa significa essere una retrazione in una categoria \(\mathcal C\), \(f\) ammette un'inversa destra, ossia esiste \(i\) tale che \(f\circ i\) sia l'identità. Ti invito a notare che \(i\) non è uguale a \(j\).
Lo ripeto, perché è la cosa che continua a sfuggirti: \(i\) non è uguale a \(j\).
Se ora fai l'ipotesi che esista un'omotopia tra \(j\circ f\) e \(1_X\), però, per un argomento del tutto analogo a quello che afferma che gli inversi di un morfismo, quando esistono, sono unici, puoi dimostrare facilmente che \(i\) e \(j\) devono essere omotope, ovvero (secondo definizione) deve esistere una mappa continua \(H_{ij} : A\times[0,1]\to X\) tale che \(H_{ij}|_0=i\) e \(H_{ij}|_1 = j\).
L'errore è questo: tu fin dall'inizio sembri assumere che \(f\) sia sì una retrazione, ma che la sua inversa destra fosse \(j\). O ti sei dimenticato di dirlo, e però non te ne sei accorto finora, oppure credevi fosse automatico; non lo è: \(i\) e \(j\) sono rappresentanti della stessa classe di omotopia di mappe \([\varphi] : A\to X\) nella categoria dell'omotopia \(\textbf{Ho}(\text{Top})\), ma non sono la stessa mappa in \(\text{Top}\).
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