Omomorfismi diagonalizzabili
Ciao ragazzi!Mi date una mano a risolvere questo esercizio:
Determinare un omomorfismo diagonalizzabile $φ : RR^3 → RR^3$ tale che 1 sia autovalore
e $V_1 = {(x, y, z) : x + 2y + z = 0}$.
La dimensione dell'autospazio è 2,quindi la molteplicità di 1 deve essere 2 ma non so come trovare un omomorfismo che rispetti questa richiesta e che dia $V_1$ come autospazio.
Ringrazio chiunque mi aiuterà!
Determinare un omomorfismo diagonalizzabile $φ : RR^3 → RR^3$ tale che 1 sia autovalore
e $V_1 = {(x, y, z) : x + 2y + z = 0}$.
La dimensione dell'autospazio è 2,quindi la molteplicità di 1 deve essere 2 ma non so come trovare un omomorfismo che rispetti questa richiesta e che dia $V_1$ come autospazio.
Ringrazio chiunque mi aiuterà!
Risposte
innanzitutto trovi una base dell'autospazio che io direi essere ad esempio ${v_1=(1,0,-1),v_2=(1,-2,1)}$ poi la completi ad una base di tutto $RR^3$ ad esempio con $v_3=(0,1,0)$
dopo di che basta prendere come omomorfismo quello che manda $v_i$ in $v_i$ per $i=1,2,3$ la matrice nella base data dell'omomorfismo è la matrice identica percui l'omomorfismo è chiaramente diagonalizzabile
dopo di che basta prendere come omomorfismo quello che manda $v_i$ in $v_i$ per $i=1,2,3$ la matrice nella base data dell'omomorfismo è la matrice identica percui l'omomorfismo è chiaramente diagonalizzabile
Hai ragione,così è tutto chiaro.Io trivavo la base dell'autospazio e la completavo a base di tutto $RR^3$ ma poi non sapevo come fa rispettare la relazione di $V_1$.Scusate la stupidità della domanda ma sono rimasta un po' indietro.Grazie ancora sei stato gentilissimo.
"rubik":
innanzitutto trovi una base dell'autospazio che io direi essere ad esempio ${v_1=(1,0,-1),v_2=(1,-2,1)}$
Non mi torna il secondo vettore che hai scritto.
Se l'equazione è $x+2y+z=0$, io direi che va bene il vettore $(1,-1,1)$.
Più che altro stavo riguardando l'esercizio e mi sembra che con quei vettori e con quello omomorfismo l'autospazio dell'autovalore 1 che si trova ha dimensione 1 non 2 perchè si trova $z=0$.O sbaglio?
"rubik":
innanzitutto trovi una base dell'autospazio che io direi essere ad esempio ${v_1=(1,0,-1),v_2=(1,-2,1)}$ poi la completi ad una base di tutto $RR^3$ ad esempio con $v_3=(0,1,0)$
dopo di che basta prendere come omomorfismo quello che manda $v_i$ in $v_i$ per $i=1,2,3$ la matrice nella base data dell'omomorfismo è la matrice identica percui l'omomorfismo è chiaramente diagonalizzabile
Ma così ottieni la matrice identica!
Non puoi mandare anche $(0,1,0)$ in se stesso, attenzione!!
Puoi mandarlo in $(0,2,0)$ o, più in generale, in $(0,k,0)$.
In definitiva:
$f: (1,0,-1) mapsto (1,0,-1)$
$f: (1,-1,1) mapsto (1,-1,1)$
$f: (0,1,0) mapsto (0,2,0)$
ottieni la matrice:
$M=[(1,0,0),(frac{1}{2},2,frac{1}{2}),(0,0,1)]$
Questa matrice si ottiene moltiplicando le matrici:
$[(1,1,0),(0,-1,1),(-1,1,0)] cdot [(1,0,0),(0,1,0),(0,0,2)] cdot [(1,1,0),(0,-1,1),(-1,1,0)]^(-1)$
$f: (1,0,-1) mapsto (1,0,-1)$
$f: (1,-1,1) mapsto (1,-1,1)$
$f: (0,1,0) mapsto (0,2,0)$
ottieni la matrice:
$M=[(1,0,0),(frac{1}{2},2,frac{1}{2}),(0,0,1)]$
Questa matrice si ottiene moltiplicando le matrici:
$[(1,1,0),(0,-1,1),(-1,1,0)] cdot [(1,0,0),(0,1,0),(0,0,2)] cdot [(1,1,0),(0,-1,1),(-1,1,0)]^(-1)$
Scusa ma M è la matrice associa ta all'omomorfismo rispetto alla base canonica?
"delca85":
Scusa ma M è la matrice associa ta all'omomorfismo rispetto alla base canonica?
Certo.
Hai capito perché non si può mandare tutti i vettori in loro stessi?
"rubik":
innanzitutto trovi una base dell'autospazio che io direi essere ad esempio ${v_1=(1,0,-1),v_2=(1,-2,1)}$ poi la completi ad una base di tutto $RR^3$ ad esempio con $v_3=(0,1,0)$
dopo di che basta prendere come omomorfismo quello che manda $v_i$ in $v_i$ per $i=1,2,3$ la matrice nella base data dell'omomorfismo è la matrice identica percui l'omomorfismo è chiaramente diagonalizzabile
Se hai la matrice identica rispetto ad una base qualsiasi hai la matrice identica anche rispetto a qualsiasi altra base:
$A cdot I cdot A^(-1) = I$
In questo esercizio si vuole che l'autospazio relativo all'autovalore $lambda=1$ abbia dimensione 2, quindi la matrice identica
non può andare bene.
Perchè se prendessi la matrice identica la molteplicità di 1 sarebbe 3 e per questo sarebbe sbagliato,giusto?
E' questo l'unico modo per trovare un omomrfismo con queste richieste?Cioè completare a base di tutto V la base dell'autospazio,determinare un altro autovalore e poi fare il prodotto delle matrici?Grazie di tutto
"delca85":
Perchè se prendessi la matrice identica la molteplicità di 1 sarebbe 3 e per questo sarebbe sbagliato,giusto?
Esatto.
"delca85":
E' questo l'unico modo per trovare un omomrfismo con queste richieste?Cioè completare a base di tutto V la base dell'autospazio,determinare un altro autovalore e poi fare il prodotto delle matrici?Grazie di tutto
Questi esercizi si fanno così, in genere.
Puoi completare in infiniti modi la base dell'autospazio.
Ma puoi scegliere in infiniti modi la base stessa dell'autospazio.
Scusa se ne approfitto ma ti posto l'ultimo giusto per vedere se ho capito:
Determinare un omorfismo $f: RR^5 rarr RR^5 : f$ diagonalizzabile e $f (1,1,1,-1,2,)=(1,3,0,1,-1)$.
Io completo a base con $(1,0,0,0,0) (0,1,0,0,0) (0,0,1,0,0) (0,0,0,1,0)$ e mando ognuno in se stesso.
Così va bene?
Determinare un omorfismo $f: RR^5 rarr RR^5 : f$ diagonalizzabile e $f (1,1,1,-1,2,)=(1,3,0,1,-1)$.
Io completo a base con $(1,0,0,0,0) (0,1,0,0,0) (0,0,1,0,0) (0,0,0,1,0)$ e mando ognuno in se stesso.
Così va bene?
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