Omomorfismi
Ragazzi sono alle prese con i primi problemi di algebra lineare,qua ho incontrato le prime difficoltà:
Trovare base e dimensione di $Hom_(RR) (RR^2,RR^3) : f(1,1)=(0,0,0)$.
Non ho idea di cosa fare.Aiutatemi please!
Trovare base e dimensione di $Hom_(RR) (RR^2,RR^3) : f(1,1)=(0,0,0)$.
Non ho idea di cosa fare.Aiutatemi please!
Risposte
un omomorfismo da $RR^2$ a $RR^3$ si può rappresentare tramite una matrice $3x2$ (righe x colonne) cioè del tipo
$A=((a,b),(c,d),(e,f))$ con $a,b,c,d,e,f\inRR$ e imponendo la condizione che $A((1,1))=((0,0))$ si ha che $a=-b$, $c=-d$ $e=-f$, quindi
$A=((-b,b),(-d,d),(-c,c))$ con $3$ parametri liberi quindi la dimensione è $3$ e una base è data dalle matrici
$A_1=((-1,1),(0,0),(0,0))$, $A_2=((0,0),(-1,1),(0,0))$, $A_3=((0,0),(0,0),(-1,1))$
ciao ciao
$A=((a,b),(c,d),(e,f))$ con $a,b,c,d,e,f\inRR$ e imponendo la condizione che $A((1,1))=((0,0))$ si ha che $a=-b$, $c=-d$ $e=-f$, quindi
$A=((-b,b),(-d,d),(-c,c))$ con $3$ parametri liberi quindi la dimensione è $3$ e una base è data dalle matrici
$A_1=((-1,1),(0,0),(0,0))$, $A_2=((0,0),(-1,1),(0,0))$, $A_3=((0,0),(0,0),(-1,1))$
ciao ciao
Ciao!Scusa, ma ll'inizio mi sembrava di aver capito invece ora non mi è poi chiarissimo.Cosa Vuol dire $A((1,1))=(0,0)$.La matrice associata alla coppia (1,1)?
Scusa ancora e grazie mille.
Scusa ancora e grazie mille.
Significa la matrice A che moltiplica (la trasposta di) $(1,1)$ vale
$(0,0,0)$ (manca uno 0), condizione della tua ipotesi, con
$f"="A$
$(0,0,0)$ (manca uno 0), condizione della tua ipotesi, con
$f"="A$
si giusto....!!!!!!!! scusa manca uno zero. vuol dire quello che ha detto papp
Ok perfetto!Adesso mi sembra proprio di aver capito.Ma come arrivi ad un ragionemento del genere?A pensare alla trasposta?
beh semplice per definizione di prodotto fra matrici.... 
Tu intendi la matrice A che moltiplica la sua trasposta?E(1,1) che c'entra?
Che c'entra nel senso come lo utilizzo essendo un elemento di $RR^2$ associando alle matrici?
Scusa se le domande sono stupide
Scusa se le domande sono stupide
Fregatene di come sono messi i vettori, se disposti in orizzontale o in verticale. Il senso qui è che hai una cosa del tipo
$f(x)=y$ che tramuti nel linguaggio delle matrici con $Ax=y$. Ora l'unico senso per effettuare la moltiplicazione con A è che
x e y siano dei vettori colonna. Non c'è nessun ragionamento arzigogolato.
$f(x)=y$ che tramuti nel linguaggio delle matrici con $Ax=y$. Ora l'unico senso per effettuare la moltiplicazione con A è che
x e y siano dei vettori colonna. Non c'è nessun ragionamento arzigogolato.
Ok!Non riuscivo a vedere $(1,1)$ e $(0,0,0)$ come matrici riga e colonna.Grazie,sei stato gentilissimo e utilissimo.
Ho ancora una domanda:quando mi viene chiesto di dimostrare che esiste un omomorfismo tra due spazi vettoriali,senza che mi siano date immagini,matrici associate o legge,devo vedere se le dimensioni dei due spazi vettoriali o,eventualmente dell'immagine,possono rispettare il teorema di nullità?CIoè che ad esempio non ci sia la dimensione dell'immagine maggiore rispetto a quella dello spazio di partenza.O devo far veder anche qualcos'altro?
Ho ancora una domanda:quando mi viene chiesto di dimostrare che esiste un omomorfismo tra due spazi vettoriali,senza che mi siano date immagini,matrici associate o legge,devo vedere se le dimensioni dei due spazi vettoriali o,eventualmente dell'immagine,possono rispettare il teorema di nullità?CIoè che ad esempio non ci sia la dimensione dell'immagine maggiore rispetto a quella dello spazio di partenza.O devo far veder anche qualcos'altro?
assplutamente no... vedi che lo spazio d'"arrivo" può avere anche dimensione più piccola dello spazio di partenza...
magari posta un esempio
magari posta un esempio
Dicevo il contrario,ecco un esempio:
Sia $V = {f(x) in K[x] : Grado di f <= 4}$, e sia $W = {f(x) in V : f(1) = 0}$
a) Provare che W ´e un K-sottospazio vettoriale di V e determinarne la dimensione,
b) Esiste un omomorfismo di spazi vettoriali $f : VrarrV$ tale che Imf = W?
c) Esiste un omomorfismo di spazi vettoriali $f : K^3rarrV$ tale che Imf = W?
Secondo me la risposta alla domanda c è no perchè $dim K^3=3$ mentre $dimW=4$ e quindi così non funzionerebbe il teorema di nullità.
Sia $V = {f(x) in K[x] : Grado di f <= 4}$, e sia $W = {f(x) in V : f(1) = 0}$
a) Provare che W ´e un K-sottospazio vettoriale di V e determinarne la dimensione,
b) Esiste un omomorfismo di spazi vettoriali $f : VrarrV$ tale che Imf = W?
c) Esiste un omomorfismo di spazi vettoriali $f : K^3rarrV$ tale che Imf = W?
Secondo me la risposta alla domanda c è no perchè $dim K^3=3$ mentre $dimW=4$ e quindi così non funzionerebbe il teorema di nullità.
Ragionamento sbagliato?
edit , scusate
ragionamento corretto! fai bene qui a trattare con le dimensioni.
Anzi, per completezza, forniscici basi di W e V.
ciao
Anzi, per completezza, forniscici basi di W e V.
ciao
Ok grazie mille a tutti!ciao ciao
dove scappi? io voglio quelle basi
Ok allora base di $V={(1,0,0,0,0),(0,x,0,0,0),(0,0,x^2,0,0),(0,0,0,x^3,0),(0,0,0,0,x^4)}$ e $dimW={(1,0,0,0,-1),(0,x,0,0,-x),(0,0,x^2,0,-x^2),(0,0,0,x^3,-x^3)$
Scusa,non avevo capito le volessi sapere.Risposta giusta o sbagliata?Grazie!
Scusa,non avevo capito le volessi sapere.Risposta giusta o sbagliata?Grazie!
va bene
Meno male ero un po' in tensione!Grazie ancora
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo