Omologia relativa
Ciao a tutti, avrei un problema con un esercizio (tratto da "Algebraic Topology" di A. Hatcher).
Si richiede di mostrare che $H_1(RR, QQ)$, ovvero il primo gruppo di omologia singolare relativa di $RR$ e del sottospazio $QQ$, è un gruppo abeliano libero e di trovarne una base. La prima parte l'ho risolta sfruttando la sequenza esatta lunga in omologia relativa, per cui $H_1(RR,QQ)$ è effettivamente abeliano libero poiché isomorfo ad un sottogruppo di $H_0(QQ)$ (che è abeliano libero e infinitamente generato), più precisamente al nucleo della mappa $i'$ indotta dall'inclusione $i:QQ\rightarrow RR$. Qualcuno saprebbe dirmi come si può trovare una base? Grazie.
Si richiede di mostrare che $H_1(RR, QQ)$, ovvero il primo gruppo di omologia singolare relativa di $RR$ e del sottospazio $QQ$, è un gruppo abeliano libero e di trovarne una base. La prima parte l'ho risolta sfruttando la sequenza esatta lunga in omologia relativa, per cui $H_1(RR,QQ)$ è effettivamente abeliano libero poiché isomorfo ad un sottogruppo di $H_0(QQ)$ (che è abeliano libero e infinitamente generato), più precisamente al nucleo della mappa $i'$ indotta dall'inclusione $i:QQ\rightarrow RR$. Qualcuno saprebbe dirmi come si può trovare una base? Grazie.
Risposte
Se $H_0(RR,QQ)$ si scrive come \(\bigoplus_{q\in \mathbb Q} \mathbb Z_q \) è sufficiente che prendi un elemento a caso \(\bar q\in \mathbb Q\), e consideri l'insieme \( \{1_{\bar q}-1_q\}_{q\in \mathbb Q\setminus \{\bar q\}}\). Questo è una base di \(\ker(H_0(\mathbb Q)\to H_0(\mathbb R))\).
Ti ringrazio, ci avevo pensato ma non ero troppo sicuro! Comunque... sì, siamo sulla stessa barca 
Diciamolo meglio.
Osserva che se \(f : H_0(\mathbb Q)\to H_0(\mathbb R)\) allora essa agisce "tautologicamente" mandando un elemento della base di \(H_0(\mathbb Q) = \bigoplus_{q\in\mathbb Q} \mathbb Z\langle 1_q\rangle\) in lui stesso, guardato in \(H_0(\mathbb R) = \mathbb Z\), quindi "\(f\) manda tutto in \([1]\)"; se ora \(x\in\ker f\), quello che succede è che un tale \(f\) ha la proprietà per cui \(f(x) = f\left( \sum n_i 1_{q_i} \right) = \sum n_i \cdot [1] = (\sum n_i) [1] = 0\). Ciò è possibile solamente se, separando tutti gli \(n_i\) positivi, e tutti gli \(n_i\) negativi tra loro, le somme di questi due sono uguali in modulo. Questo è il motivo per cui una base si può scrivere a quel modo.
Osserva che se \(f : H_0(\mathbb Q)\to H_0(\mathbb R)\) allora essa agisce "tautologicamente" mandando un elemento della base di \(H_0(\mathbb Q) = \bigoplus_{q\in\mathbb Q} \mathbb Z\langle 1_q\rangle\) in lui stesso, guardato in \(H_0(\mathbb R) = \mathbb Z\), quindi "\(f\) manda tutto in \([1]\)"; se ora \(x\in\ker f\), quello che succede è che un tale \(f\) ha la proprietà per cui \(f(x) = f\left( \sum n_i 1_{q_i} \right) = \sum n_i \cdot [1] = (\sum n_i) [1] = 0\). Ciò è possibile solamente se, separando tutti gli \(n_i\) positivi, e tutti gli \(n_i\) negativi tra loro, le somme di questi due sono uguali in modulo. Questo è il motivo per cui una base si può scrivere a quel modo.
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