Omeomorfismo tra topologia euclidea e topologia prodotto
Siano n,m appartenenti ad N e si considerino $R^n$,$R^m$,$R^(n+m)$ spazi topologici con le loro topologie euclidee. Si consideri il prodotto $R^(n+m)=R^(n)+R^(m)$ e si mostri che la topologia prodotta su $R^(n+m)$ è identica alla topologia euclidea.
In generale so che lo spazio euclideo è uno spazio metrico,quindi lo si può considerare anche uno spazio topologico dotandolo della naturale topologia indotta dalla metrica. Questo può farsi definendo come base di insiemi aperti l'insieme delle palle aperte, insiemi dei punti che distano da un punto dato meno di un reale positivo fissato (raggio della palla). Mediante questi insiemi aperti si definiscono tutte le nozioni che servono alla topologia metrica su $R^(n+m)$. Questa è detta topologia euclidea e si rivela equivalente alla topologia prodotto su $R^(n+m)$ considerato come prodotto di n+m coppie della retta reale R dotata della sua usuale topologia.
Ma come posso dimostrarlo più in specifico?
In generale so che lo spazio euclideo è uno spazio metrico,quindi lo si può considerare anche uno spazio topologico dotandolo della naturale topologia indotta dalla metrica. Questo può farsi definendo come base di insiemi aperti l'insieme delle palle aperte, insiemi dei punti che distano da un punto dato meno di un reale positivo fissato (raggio della palla). Mediante questi insiemi aperti si definiscono tutte le nozioni che servono alla topologia metrica su $R^(n+m)$. Questa è detta topologia euclidea e si rivela equivalente alla topologia prodotto su $R^(n+m)$ considerato come prodotto di n+m coppie della retta reale R dotata della sua usuale topologia.
Ma come posso dimostrarlo più in specifico?
Risposte
Guarda, è molto semplice. Una base della topologia euclidea è costituita dalle sfere aperte
[tex]B(x_0; r)=\{x\in \mathbb{R}^n \mid \lvert x-x_0\rvert < r \}[/tex], al variare di [tex]x_0\in \mathbb{R}^n, r>0[/tex];
una base della topologia prodotto è costituita dai rettangoli aperti
[tex]R(a, b)=\{ x=(x_1\ldots x_n) \in \mathbb{R}^n \mid \forall j=1...n,\ a_j < x_j < b_j\}[/tex], al variare di [tex]a=(a_1\ldots a_n), b=(b_1 \ldots b_n) \in \mathbb{R}^n[/tex].
Su questo saremo d'accordo. Ora dimostra che ogni sfera aperta contiene un rettangolo aperto e che ogni rettangolo aperto contiene una sfera aperta. Visto questo, potrai concludere che le due topologie sono uguali (perché?).
[tex]B(x_0; r)=\{x\in \mathbb{R}^n \mid \lvert x-x_0\rvert < r \}[/tex], al variare di [tex]x_0\in \mathbb{R}^n, r>0[/tex];
una base della topologia prodotto è costituita dai rettangoli aperti
[tex]R(a, b)=\{ x=(x_1\ldots x_n) \in \mathbb{R}^n \mid \forall j=1...n,\ a_j < x_j < b_j\}[/tex], al variare di [tex]a=(a_1\ldots a_n), b=(b_1 \ldots b_n) \in \mathbb{R}^n[/tex].
Su questo saremo d'accordo. Ora dimostra che ogni sfera aperta contiene un rettangolo aperto e che ogni rettangolo aperto contiene una sfera aperta. Visto questo, potrai concludere che le due topologie sono uguali (perché?).
forse perchè essendo le basi topologicamente equivalenti anche le topologie lo sono...
Si ma io dico di fare proprio un ragionamento a livello insiemistico. Chiama [tex]\mathcal{B}[/tex] la famiglia delle sfere aperte e [tex]\mathcal{R}[/tex] quella dei rettangoli aperti. Ognuna di queste è base di una topologia, che indicheremo con [tex]\tau(\mathcal{B}),\ \tau(\mathcal{R})[/tex] rispettivamente. Se dimostri che ogni sfera aperta contiene un rettangolo aperto, come conseguenza hai l'inclusione [tex]\tau(\mathcal{B})\subset \tau(\mathcal{R})[/tex]; viceversa dimostrando che ogni rettangolo aperto contiene una sfera aperta hai l'inclusione [tex]\tau(\mathcal{R})\subset \tau(\mathcal{B})[/tex]. Svolgi tu tutti i dettagli.
chiarissimo!!!!!fatto!!!!grazie 1000!!!
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