Omeomorfismo tra quoziente di $CC^{ast}$ e $S^1xxS^1$
Si consideri l’azione del gruppo $ZZ$ su $CC^{ast}$ data da $(n,z)→ 2^nz$ per ogni $ninZZ$ , $zinCC^{ast}$. Sia $Y$ lo spazio topologico quoziente rispetto a quest’azione. Si provi che $Y$ è omeomorfo a $S^1xxS^1$.
Ho considerato questa funzione $f:CC^{ast}->S^1xxS^1$ definita come $f(z)=(e^(2\piilog_2(|z|)), z/|z|)$. Questa funzione è surriettiva, continua e inoltre è costante sulle classi di equivalenza di $Y$ e non altrove. Quindi passando al quoziente $Y$ diventa iniettiva, e esiste l'inversa (forse usando il teorema di Haurdsoff notando che $S^1xxS^1$ è T2 poichè lo è $S^1$, un po' più difficile è dimostrare che $Y$ è compatto). Può andar bene?
Ho considerato questa funzione $f:CC^{ast}->S^1xxS^1$ definita come $f(z)=(e^(2\piilog_2(|z|)), z/|z|)$. Questa funzione è surriettiva, continua e inoltre è costante sulle classi di equivalenza di $Y$ e non altrove. Quindi passando al quoziente $Y$ diventa iniettiva, e esiste l'inversa (forse usando il teorema di Haurdsoff notando che $S^1xxS^1$ è T2 poichè lo è $S^1$, un po' più difficile è dimostrare che $Y$ è compatto). Può andar bene?
Risposte
Chiudo in bellezza: oggi ho già affermato delle castronerie in matematica in tutti i laghi e in tutti i luoghi... mi sembra poco educato non affermarne altrettante anche quivi!
\[
\forall z\in\mathbb{C}^{\times},\,e^{2\pi i\ln_2|z|}=\left(e^{2\pi i}\right)^{\ln_2|z|}=1^{\ln_2|z|}=1.
\]
\[
\forall z\in\mathbb{C}^{\times},\,e^{2\pi i\ln_2|z|}=\left(e^{2\pi i}\right)^{\ln_2|z|}=1^{\ln_2|z|}=1.
\]
"j18eos":
Chiudo in bellezza: oggi ho già affermato delle castronerie in matematica in tutti i laghi e in tutti i luoghi... mi sembra poco educato non affermarne altrettante anche quivi!
\[
\forall z\in\mathbb{C}^{\times},\,e^{2\pi i\ln_2|z|}=\left(e^{2\pi i}\right)^{\ln_2|z|}=1^{\ln_2|z|}=1.
\]
Divertente e vero $AAzinCC^{ast}$ tale che $|z|=2^n$ con $ninZZ$.
Io ho l'ho scritto in anticipo che oggi non è giornata! Ci rido su oramai 
(per la disperazione).
Scrivendo una cosa (spero) corretta, riesci a definire una funzione biettiva e continua tra il quoziente e il \(2\)-toro. Provato a dimostrare che sia aperta\chiusa?
(per la disperazione).Scrivendo una cosa (spero) corretta, riesci a definire una funzione biettiva e continua tra il quoziente e il \(2\)-toro. Provato a dimostrare che sia aperta\chiusa?
"j18eos":
Io ho l'ho scritto in anticipo che oggi non è giornata! Ci rido su oramai
Scrivendo una cosa (spero) corretta, riesci a definire una funzione biettiva e continua tra il quoziente e il \(2\)-toro. Provato a dimostrare che sia aperta\chiusa?
E guarda non so bene come dimostrare che sia aperta o chiusa, ci devo ancora pensare bene, però io pensavo di usare il teorema di Haursdoff come ho scritto, anche se effettivamente mi mancherebbe da mostrare la compattezza.
...mmmhhh: se non ho visto male, il quoziente \(\displaystyle\mathbb{C}^{\times}/\mathbb{Z}\) è immagine del compatto \(\displaystyle\{z\in\mathbb{C}^{\times}\mid 2^n\leq|z|\leq2^{n+1}\}\) con \(\displaystyle n\in\mathbb{Z}\) qualsiasi.
Poi come concluderesti?
Poi come concluderesti?
"j18eos":
...mmmhhh: se non ho visto male, il quoziente \(\displaystyle\mathbb{C}^{\times}/\mathbb{Z}\) è immagine del compatto \(\displaystyle\{z\in\mathbb{C}^{\times}\mid 2^n\leq|z|\leq2^{n+1}\}\) con \(\displaystyle n\in\mathbb{Z}\) qualsiasi.
Poi come concluderesti?
Beh poichè la funzione è continua da un compatto la sua immagine è compatta e quindi $CC^{ast}//ZZ$ compatto. Ma non ho capito bene qual è la funzione per cui $CC^{ast}//ZZ$ è immagine del compatto \(\displaystyle\{z\in\mathbb{C}^{\times}\mid 2^n\leq|z|\leq2^{n+1}\}\), la proiezione sul quoziente intendi?
Sì, sottointendevo di usare la proiezione canonica. 
ok, grazie.
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