Omeomorfismo tra la circonferenza ed un quoziente
Devo dimostrare che la circonferenza e $RR/ZZ$ sono omeomorfi.
Le classi di quel quoziente le posso rappresentare con i numeri reali in $[0,1)$.
Ora il problema è costruire l'omeomorfismo tra $[0,1)$ la circonferenza. Avrei pensato ad un'applicazione che associa ad un punto dell'intervallo una retta per l'origine in modo che allo scorrere del punto la retta ruoti descrivendo la circonferenza due volte, in modo che posso prendere la prima volta un punto di intersezione della retta con la circonferenza e l'altra volta l'antipodale.
Mi pare che la mia funzione possa avere le proprietà di un omeomorfismo, ma non so proprio come scriverlo esplicitamente.
Le classi di quel quoziente le posso rappresentare con i numeri reali in $[0,1)$.
Ora il problema è costruire l'omeomorfismo tra $[0,1)$ la circonferenza. Avrei pensato ad un'applicazione che associa ad un punto dell'intervallo una retta per l'origine in modo che allo scorrere del punto la retta ruoti descrivendo la circonferenza due volte, in modo che posso prendere la prima volta un punto di intersezione della retta con la circonferenza e l'altra volta l'antipodale.
Mi pare che la mia funzione possa avere le proprietà di un omeomorfismo, ma non so proprio come scriverlo esplicitamente.
Risposte
Gli elementi di $RR/ZZ$ sono laterali del tipo $x + ZZ$ dove $x \in [0,1)$. Definisci quindi l'applicazione $x + ZZ \mapsto (cos(2pi x), sin(2pi x))$. La funzione è continua, suriettiva, iniettiva e aperta e quindi è un omeomorfismo.
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