Omeomorfismo tra 2 insiemi
Vorrei dimostrare che $(0,1]x(0,1]$ è omeomorfo a $(0,1]x[0,1]$ considerando la topologia euclidea e le rispettive topologie prodotto.
Se $(0,1]$ fosse stato omeomorfo a $[0,1]$ sarebbe stato banale implicare la tesi, ma dato che in $R$ l'immagine di un insieme chiuso per via di una funzione continua è un insieme chiuso allora questa strada è sbagliata.
Ho provato a cercare "a mano" qualche funzione biunivoca e bicontinua tra i due insiemi ma non riesco a trovare nulla
Se $(0,1]$ fosse stato omeomorfo a $[0,1]$ sarebbe stato banale implicare la tesi, ma dato che in $R$ l'immagine di un insieme chiuso per via di una funzione continua è un insieme chiuso allora questa strada è sbagliata.
Ho provato a cercare "a mano" qualche funzione biunivoca e bicontinua tra i due insiemi ma non riesco a trovare nulla
Risposte
Non conosci il concetto di spazio topologico compatto? Con ciò avresti subito concluso che non esiste un tale omeomorfismo!
Potresti provare a spostare il problema sul disco unitario \(D^2 = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \, \colon \, x^2 + y^2 \leq 1\}\).
Mi spiego: c'è un omeomorfismo tra \([0,1] \times [0,1]\) e \(D^2\) attraverso il quale i due sottoinsiemi di \([0,1] \times [0,1]\) che devi mostrare essere omeomorfi diventano \(D^2 \setminus I\) e \(D^2 \setminus J\), dove \(I\) e \(J\) sono archi chusi (cioè omeomorfi a \([0,1]\)) nella circonferenza \(S^1 = \partial D^2\). A questo punto il problema dovrebbe apparire più immediato: è sufficiente trovare un omeomorfismo \(f \colon D^2 \to D^2\) tale che \(f(I) = J\).
Mi spiego: c'è un omeomorfismo tra \([0,1] \times [0,1]\) e \(D^2\) attraverso il quale i due sottoinsiemi di \([0,1] \times [0,1]\) che devi mostrare essere omeomorfi diventano \(D^2 \setminus I\) e \(D^2 \setminus J\), dove \(I\) e \(J\) sono archi chusi (cioè omeomorfi a \([0,1]\)) nella circonferenza \(S^1 = \partial D^2\). A questo punto il problema dovrebbe apparire più immediato: è sufficiente trovare un omeomorfismo \(f \colon D^2 \to D^2\) tale che \(f(I) = J\).
"j18eos":Come? Puoi esplicitare l'argomento?
Non conosci il concetto di spazio topologico compatto? Con ciò avresti subito concluso che non esiste un tale omeomorfismo!
Secondo me è proprio vero che quei due spazi sono omeomorfi. Basta mandare il bordo di uno nel bordo dell'altro in modo appropriato.
Prima di aprire la discussione avevo verificato tutti gli invarianti topologici di cui sono a conoscenza, e a meno di sviste penso che siano uguali in entrambi gli spazi. Se ti riferivi invece al fatto che $(0,1]$ e $[0,1]$ non sono omeomorfi dato che solo uno dei due è compatti allora si, non ci avevo pensato, grazie!
Avevo pensato anche io di fare una funzione che manda i punti interni del primo nei punti interni del secondo, e poi il bordo sono riuscito a trattarlo in maniera biunivoca con qualche stratagemma e penso che sia lo stesso modo che intendi tu.
Però ottengo una funzione definita in 4 tratti e non saprei come dimostrarne la continuità.
Invece se ho capito bene elvis sta cercando di costruire una funzione tra dischi perchè il bordo lo posso definire in polari e non ho bisogno di spezzare il bordo in tanti pezzettini. Dopo ci provo e vedo se riesco a saltarci con la continuità in questo modo
Avevo pensato anche io di fare una funzione che manda i punti interni del primo nei punti interni del secondo, e poi il bordo sono riuscito a trattarlo in maniera biunivoca con qualche stratagemma e penso che sia lo stesso modo che intendi tu.
Però ottengo una funzione definita in 4 tratti e non saprei come dimostrarne la continuità.
Invece se ho capito bene elvis sta cercando di costruire una funzione tra dischi perchè il bordo lo posso definire in polari e non ho bisogno di spezzare il bordo in tanti pezzettini. Dopo ci provo e vedo se riesco a saltarci con la continuità in questo modo
No, lascia perdere: avevo letto che il secondo spazio era il quadrato chiuso di lato \(\displaystyle1\); cosa non c'è...
Però resto del parere che non siano omeomorfi, in quanto "vedo che i bordi (giusto per capirci) si comportano male"; ma è solo un'idea.
Però resto del parere che non siano omeomorfi, in quanto "vedo che i bordi (giusto per capirci) si comportano male"; ma è solo un'idea.
Il fatto che i bordi "si comportano male" implica che non esiste un diffeomorfismo (a mio parere).
Per assurdo sia \(\displaystyle\varphi\) un omeomorfismo da \(\displaystyle X=]0,1]\times[0,1]\) a \(\displaystyle Y=]0,1]\times]0,1]\); banalmente \(\displaystyle K=\{1\}\times[0,1]\) è un sottoinsieme connesso e compatto di \(\displaystyle X\) tale che \(\displaystyle X\setminus K\) è ancora uno spazio topologico semplicemente connesso, quindi \(\displaystyle\varphi(K)\) è un sottoinsieme connesso e compatto di \(\displaystyle Y\) tale che \(\displaystyle Y\setminus\varphi(K)\) è uno spazio topologico semplicemente connesso.
Una delle due eventualità dev'essere sicuramente vera:
\[
\varphi(K)\subseteq\{1\}\times]0,1]\lor\varphi(K)\subseteq]0,1]\times\{1\};
\]
sia vera la prima, per quanto premesso:
\[
\varphi(K)=\{1\}\times[h,1]
\]
e sia \(\displaystyle H=\{1\}\times]0,h[\), banalmente:
[list=1]
[*:3smsg1oj]\(\displaystyle H\cap\varphi(K)=\emptyset\Rightarrow\varphi^{-1}(H)\cap K=\emptyset\);[/*:m:3smsg1oj]
[*:3smsg1oj]\(\displaystyle H\) è omeomorfo ad \(\displaystyle\mathbb{R}\) e quindi è una curva topologica connessa, e in particolare \(\displaystyle\varphi^{-1}(H)\) è una curva topologica connessa in \(\displaystyle X\);[/*:m:3smsg1oj]
[*:3smsg1oj]\(\displaystyle X\setminus\varphi^{-1}(H)\) è uno spazio topologico semplicemente connesso;[/*:m:3smsg1oj][/list:o:3smsg1oj]
da tutto ciò si avrebbe che:
\[
\varphi^{-1}(H)\subseteq\{1\}\times[0,1]=K\surd!
\]
Q.E.D. \(\displaystyle\Box\)
Tutto corretto?
Una delle due eventualità dev'essere sicuramente vera:
\[
\varphi(K)\subseteq\{1\}\times]0,1]\lor\varphi(K)\subseteq]0,1]\times\{1\};
\]
sia vera la prima, per quanto premesso:
\[
\varphi(K)=\{1\}\times[h,1]
\]
e sia \(\displaystyle H=\{1\}\times]0,h[\), banalmente:
[list=1]
[*:3smsg1oj]\(\displaystyle H\cap\varphi(K)=\emptyset\Rightarrow\varphi^{-1}(H)\cap K=\emptyset\);[/*:m:3smsg1oj]
[*:3smsg1oj]\(\displaystyle H\) è omeomorfo ad \(\displaystyle\mathbb{R}\) e quindi è una curva topologica connessa, e in particolare \(\displaystyle\varphi^{-1}(H)\) è una curva topologica connessa in \(\displaystyle X\);[/*:m:3smsg1oj]
[*:3smsg1oj]\(\displaystyle X\setminus\varphi^{-1}(H)\) è uno spazio topologico semplicemente connesso;[/*:m:3smsg1oj][/list:o:3smsg1oj]
da tutto ciò si avrebbe che:
\[
\varphi^{-1}(H)\subseteq\{1\}\times[0,1]=K\surd!
\]
Q.E.D. \(\displaystyle\Box\)
Tutto corretto?
"j18eos":
Una delle due eventualità dev'essere sicuramente vera:
\[ \varphi(K)\subseteq\{1\}\times]0,1]\lor\varphi(K)\subseteq]0,1]\times\{1\}; \]
Come mai?
Mi limito a fornire due indizi!
Si dimostra che la funzione \(\displaystyle\varphi\) è un omeomorfismo se e solo se è biettiva, continua e:
\[
\forall Z\subseteq X,\,\varphi(\overline{Z})=\overline{\varphi(Z)};
\]
da ciò, basta studiare dove si collochi \(\displaystyle\varphi(\{1\}\times]0,1[)\) e poi usare la chiusura topologica.
Dati \(\displaystyle x\in\{1\}\times]0,1[\) e \(\displaystyle U\) un suo intorno aperto e connesso, si ha che \(\displaystyle\varphi(U)\) è un intorno aperto di \(\displaystyle\varphi(x)\) omeomorfo a \(\displaystyle U\); ragionando si quanto affermato...
Lascio il resto del ragionamento al lettore!
Si dimostra che la funzione \(\displaystyle\varphi\) è un omeomorfismo se e solo se è biettiva, continua e:
\[
\forall Z\subseteq X,\,\varphi(\overline{Z})=\overline{\varphi(Z)};
\]
da ciò, basta studiare dove si collochi \(\displaystyle\varphi(\{1\}\times]0,1[)\) e poi usare la chiusura topologica.
Dati \(\displaystyle x\in\{1\}\times]0,1[\) e \(\displaystyle U\) un suo intorno aperto e connesso, si ha che \(\displaystyle\varphi(U)\) è un intorno aperto di \(\displaystyle\varphi(x)\) omeomorfo a \(\displaystyle U\); ragionando si quanto affermato...
Lascio il resto del ragionamento al lettore!
@j18eos Guarda, non seguo in alcun verso il tuo ragionamento, dal quale sembra emergere che un omeomorfismo debba necessariamente preservare gli spigoli del quadrato.
Come accennavo nel post precedente, il problema è equivalente a determinare un omeomorfismo \(\phi \colon D^2 \to D^2\) tale che \(\phi(I) = J\), dove gli insiemi \(I\) e \(J\) sono definiti - in coordinate polari \((r,\theta)\) - come
\[I = 1 \times [0,\pi/2] \qquad J = 1 \times [0,\pi] \]A tal proposito, è sufficiente fissare un qualsiasi omeomorfismo \(h \colon [0,2\pi] \to [0,2\pi]\) tale che \(h(0) = 0\) e \(h(\pi/2) = \pi\), e definire la mappa
\[\phi \colon D^2 \to D^2 \qquad (r,\theta) \mapsto (r, h(\theta))\]__________
P.S. Come accennavo, per spostare il problema sul disco \(D^2\) (quindi eliminando gli spigoli) si può far uso dell'omeomorfismo
\[[-1,1]^2 \to D^2 \qquad (x,y) \mapsto \frac{\max(|x|,|y|)}{\sqrt{x^2 + y^2}} (x,y)\]attraverso il quale ogni spigolo di quadrato è mappato in un quarto di circonferenza unitaria.
Come accennavo nel post precedente, il problema è equivalente a determinare un omeomorfismo \(\phi \colon D^2 \to D^2\) tale che \(\phi(I) = J\), dove gli insiemi \(I\) e \(J\) sono definiti - in coordinate polari \((r,\theta)\) - come
\[I = 1 \times [0,\pi/2] \qquad J = 1 \times [0,\pi] \]A tal proposito, è sufficiente fissare un qualsiasi omeomorfismo \(h \colon [0,2\pi] \to [0,2\pi]\) tale che \(h(0) = 0\) e \(h(\pi/2) = \pi\), e definire la mappa
\[\phi \colon D^2 \to D^2 \qquad (r,\theta) \mapsto (r, h(\theta))\]__________
P.S. Come accennavo, per spostare il problema sul disco \(D^2\) (quindi eliminando gli spigoli) si può far uso dell'omeomorfismo
\[[-1,1]^2 \to D^2 \qquad (x,y) \mapsto \frac{\max(|x|,|y|)}{\sqrt{x^2 + y^2}} (x,y)\]attraverso il quale ogni spigolo di quadrato è mappato in un quarto di circonferenza unitaria.
@elvis Ti ho risposto in privato!
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