Omeomorfismo Toro - Sfera
Buonasera a tutti,
ho un problema con un esercizio di topologia; l'esercizio chiede di stabilire se il toro \ {punto} è omeomorfo a una sfera \ {3 punti}. Io sono riuscito a mostrare che entrambi gli spazi sono omotopi a un bouquet di 2 circonferenze e sono quindi omotopi, ma non mi viene in mente nulla per dimostrare che sono omeomorfi (o che non lo sono). Qualcuno riesce ad aiutarmi?
ho un problema con un esercizio di topologia; l'esercizio chiede di stabilire se il toro \ {punto} è omeomorfo a una sfera \ {3 punti}. Io sono riuscito a mostrare che entrambi gli spazi sono omotopi a un bouquet di 2 circonferenze e sono quindi omotopi, ma non mi viene in mente nulla per dimostrare che sono omeomorfi (o che non lo sono). Qualcuno riesce ad aiutarmi?
Risposte
Hai provato ad analizzare le loro compattificazioni a un punto (Alexandroff)?
Purtroppo la compattificazione di Alexandroff non l'abbiamo fatta (è il primo corso di topologia che faccio). Non c'è qualche altro modo?
La sfera, anche con 3 punti rimossi, è sconnessa da qualsiasi curva semplice chiusa (Curva di Jordan). Sul toro, anche senza un punto, questa proprietà non è valida.
Hai ragione, potevo arrivarci! Ti ringrazio 
Comunque oggi all'esame c'era un esercizio abbastanza facile che però non credo di essere riuscito a risolvere correttamente. Il testo diceva
X spazio topologicico, A e B due suoi sottoinsiemi chiusi tali che la loro unione sia X. Sia poi f: X->Y una funzione con Y spazio topologico. Dimostrare che f è continua sapendo che le restrizioni di f ad A e B sono entrambe continue.
Io ho provato a risolverlo dicendo che siccome X è unione di A e B allora per ogni aperto D in Y vale l'uguaglianza f^(-1)(D) = f^-1(D) ristretta ad A unito a f^-1(D) ristretta a B. f^-1(D) è allora aperto perché unione di due insiemi aperti.
Però non sono molto convinto che sia giusto, anche perché non utilizzo il fatto che A e B sono chiusi in X.
Qualcuno sa aiutarmi?
Comunque oggi all'esame c'era un esercizio abbastanza facile che però non credo di essere riuscito a risolvere correttamente. Il testo diceva
X spazio topologicico, A e B due suoi sottoinsiemi chiusi tali che la loro unione sia X. Sia poi f: X->Y una funzione con Y spazio topologico. Dimostrare che f è continua sapendo che le restrizioni di f ad A e B sono entrambe continue.
Io ho provato a risolverlo dicendo che siccome X è unione di A e B allora per ogni aperto D in Y vale l'uguaglianza f^(-1)(D) = f^-1(D) ristretta ad A unito a f^-1(D) ristretta a B. f^-1(D) è allora aperto perché unione di due insiemi aperti.
Però non sono molto convinto che sia giusto, anche perché non utilizzo il fatto che A e B sono chiusi in X.
Qualcuno sa aiutarmi?
[ot]Il teorema della curca chiusa di Jordan è un risultato che usa l'omologia singolare, anche se la dimostrazione non l'avete vista a lezione, è un bel cannone per risolvere il primo esercizio![/ot]Partiamo con la tautologia \(\displaystyle f^{-1}(D)=f^{-1}(D)\): che volevi scrivere?
Giustamente scrivi \(\displaystyle f^{-1}(D)=\left(f^{-1}(D)\cap A\right)\cup\left(f^{-1}(D)\cap B\right)\); per le ipotesi hai che \(\displaystyle f^{-1}(D)\cap A=E_A\) è un sottoinsieme aperto del sottoinsieme chiuso \(\displaystyle A\) di \(\displaystyle X\), ovvero è un sottoinsieme localmente chiuso di \(\displaystyle X\), analogo discorso per l'insieme \(\displaystyle E_B\)!
Vediamo se capisci come modificare il ragionamento!
Giustamente scrivi \(\displaystyle f^{-1}(D)=\left(f^{-1}(D)\cap A\right)\cup\left(f^{-1}(D)\cap B\right)\); per le ipotesi hai che \(\displaystyle f^{-1}(D)\cap A=E_A\) è un sottoinsieme aperto del sottoinsieme chiuso \(\displaystyle A\) di \(\displaystyle X\), ovvero è un sottoinsieme localmente chiuso di \(\displaystyle X\), analogo discorso per l'insieme \(\displaystyle E_B\)!
Vediamo se capisci come modificare il ragionamento!
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