Omeomorfismo ta $D^n$ e $R^n$
Salve ho questo omeomorfismo che va da $D^n$ e $R^n$ $ f(x)=x/(1-||x||)$.
1)Non capisco come funziona
2)Non capisco come si calcola l'inversa
1)Non capisco come funziona
2)Non capisco come si calcola l'inversa
Risposte
Fatti un esempio con $n=1$, poi ci racconti.
Per n=1 la norma si elimina ed f
$f(x)=x/(1-x)$
per n=2 invece
$f(x)=x/(1-sqrt(x_1^2+x_2^2))$
Una cosa del genere anche se a voi vi sembra assurdo io non saprei invertirla e poi il fatto che vada da $D^n$ a $R^n$ non non riesco a vedere come può spalmare i punti del disco aperto su tutto il piano.
Scusate. Chiedo perdono avide menti del presente.
$f(x)=x/(1-x)$
per n=2 invece
$f(x)=x/(1-sqrt(x_1^2+x_2^2))$
Una cosa del genere anche se a voi vi sembra assurdo io non saprei invertirla e poi il fatto che vada da $D^n$ a $R^n$ non non riesco a vedere come può spalmare i punti del disco aperto su tutto il piano.
Scusate. Chiedo perdono avide menti del presente.
Non ci credo che tu non sappia invertirla.
Scrivi l'inversa nel caso n=1, come ti avevo chiesto. Fatti un disegno.
E, visto che fai il pigrone, a sto punto passa al caso generale sfruttando la simmetria radiale c'è c'è talmente evidente che acceca.
Dopodiché qui c'è pieno di utenti che scalpitano dalla voglia di esercitarsi, dal piacere di vedere che ce la fanno, dalla soddisfazione di dare una mano a qualcuno.
Ma, essendo un prof sull'orlo della pensione, ti domando: ti conviene?
Scrivi l'inversa nel caso n=1, come ti avevo chiesto. Fatti un disegno.
E, visto che fai il pigrone, a sto punto passa al caso generale sfruttando la simmetria radiale c'è c'è talmente evidente che acceca.
Dopodiché qui c'è pieno di utenti che scalpitano dalla voglia di esercitarsi, dal piacere di vedere che ce la fanno, dalla soddisfazione di dare una mano a qualcuno.
Ma, essendo un prof sull'orlo della pensione, ti domando: ti conviene?
Può tornare utile questo link?
https://www.matematicamente.it/forum/ome ... 39889.html
P.S.: Naturalmente resta da calcolare l'inversa almeno nel caso n=1 come suggerisce Fioravante. Nel link ci sono dei suggerimenti ma non il risultato...
https://www.matematicamente.it/forum/ome ... 39889.html
P.S.: Naturalmente resta da calcolare l'inversa almeno nel caso n=1 come suggerisce Fioravante. Nel link ci sono dei suggerimenti ma non il risultato...
Dissonance grazie. Almeno ho capito come funziona leggendo il link.
Ora per quanto riguarda l'inversa
$f(x)=x/(1+||x||)$ effettivamente funziona perchè manda punti lontani dall'origine in punti vicini.
Ora osservo che effettivamente $f(x)=x/(1-||x||)$ era biunivoca quindi invertibile ed inoltre applicando prima l'una e poi l'altra funge.
Mi rimane comunque oscuro il modo in cui si calcola l'inversa in modo diretto, e non si tratta di pigrizia, vorrei metterlo in chiaro,
Ora per quanto riguarda l'inversa
$f(x)=x/(1+||x||)$ effettivamente funziona perchè manda punti lontani dall'origine in punti vicini.
Ora osservo che effettivamente $f(x)=x/(1-||x||)$ era biunivoca quindi invertibile ed inoltre applicando prima l'una e poi l'altra funge.
Mi rimane comunque oscuro il modo in cui si calcola l'inversa in modo diretto, e non si tratta di pigrizia, vorrei metterlo in chiaro,
Facendo tutti i passaggi...
$y = \frac{x}{1 - ||x||}$
$(1 - ||x||)y = x$
Calcolo quindi la norma di x in termini di y:
$(1 - ||x||) ||y|| = ||x||$
$||y|| - ||x|| ||y|| = ||x||$
$||y|| = (1 + ||y||)||x||$
$\frac{||y||}{1 + ||y||} = ||x||$
Sostituendo:
$(1 - \frac{||y||}{1 + ||y||})y = x$
$\frac{y}{1 + ||y||} = x$
$y = \frac{x}{1 - ||x||}$
$(1 - ||x||)y = x$
Calcolo quindi la norma di x in termini di y:
$(1 - ||x||) ||y|| = ||x||$
$||y|| - ||x|| ||y|| = ||x||$
$||y|| = (1 + ||y||)||x||$
$\frac{||y||}{1 + ||y||} = ||x||$
Sostituendo:
$(1 - \frac{||y||}{1 + ||y||})y = x$
$\frac{y}{1 + ||y||} = x$
"apatriarca":
Facendo tutti i passaggi...
$(1 - ||x||)y = x$
Calcolo quindi la norma di x in termini di y:
$(1 - ||x||) ||y|| = ||x||$
E' leggittimo un passaggio del genere? il primo membro perchè non lo metto in norma?
Grazie.
Perché $(1 - ||x||)$ è uno scalare e $0 \ge ||x|| \ge 1$ perché $x \in D^n$.
ok ora torna tutto. Thanks.
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