Omeomorfismo
Buonasera a tutti ^^ sono incappato in un esercizio di banale soluzione intuitiva, ma per me arduo da esibire una soluzione rigorosa.
Quello che devo fare è dimostrare che una corona circolare compresa tra due raggi rispettivamente di valori $ r_1=1/2 $ e $ r_2=1 $ è omeomorfa alla circonferenza di raggio $ r=1 $ .
Intuitivamente è vero perché basta "tirare" il raggio $ r_1 $ fino a farlo coincidere con $ r_2 $ e così ottengo proprio la circonferenza desiderata.
Ma se dovessi esibire una funzione continua, biunivoca con inversa continua, quale dovrei esporre? Ci sto ragionando dalle 23 e non ne sono ancora uscito
alla fine ho deciso di chiedere aiuto qui.
Quello che devo fare è dimostrare che una corona circolare compresa tra due raggi rispettivamente di valori $ r_1=1/2 $ e $ r_2=1 $ è omeomorfa alla circonferenza di raggio $ r=1 $ .
Intuitivamente è vero perché basta "tirare" il raggio $ r_1 $ fino a farlo coincidere con $ r_2 $ e così ottengo proprio la circonferenza desiderata.
Ma se dovessi esibire una funzione continua, biunivoca con inversa continua, quale dovrei esporre? Ci sto ragionando dalle 23 e non ne sono ancora uscito
alla fine ho deciso di chiedere aiuto qui.
Risposte
E' falso. Una corona $C$ e una circonferenza $S^1$ sono omotopicamente equivalenti, ma non omeomorfe.
Supponi per assurdo che esista una biiezione continua e aperta $\varphi : C \to S^1$; allora esiste un omeomorfismo tra \(S^1 \setminus \{N,S\}\) (dove $N,S$ sono i poli nord e sud) e \(C \setminus\{\varphi^{-1}N, \varphi^{-1}S\}\) meno due punti. Del resto ops, \(S^1 \setminus \{N,S\}\) non è connesso per archi, \(C \setminus\{\varphi^{-1}N, \varphi^{-1}S\}\) invece sì, assurdo.
Supponi per assurdo che esista una biiezione continua e aperta $\varphi : C \to S^1$; allora esiste un omeomorfismo tra \(S^1 \setminus \{N,S\}\) (dove $N,S$ sono i poli nord e sud) e \(C \setminus\{\varphi^{-1}N, \varphi^{-1}S\}\) meno due punti. Del resto ops, \(S^1 \setminus \{N,S\}\) non è connesso per archi, \(C \setminus\{\varphi^{-1}N, \varphi^{-1}S\}\) invece sì, assurdo.
Grazie mille infinite! Hai perfettamente ragione! Certe volte mettere in dubbio ciò che viene dato non è una cattiva cosa! L'omotopia è una relazione ben più "blanda" dell'omeomorfismo.
Se però ragiono sul complementare di questi due insiemi, ovvero su $ \mathbb{R}^2\setminus C $ e su $ \mathbb{R}^2\setminus S^1 $ , invece qui posso concludere che sono omeomorfi giusto?
Se però ragiono sul complementare di questi due insiemi, ovvero su $ \mathbb{R}^2\setminus C $ e su $ \mathbb{R}^2\setminus S^1 $ , invece qui posso concludere che sono omeomorfi giusto?
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