Omeomorfismo
Ciao a tutti,
ho questo dubbio, e ho notato che questo esercizio è già stato affrontato quihttps://www.matematicamente.it/forum/ ... 84#p712910
ovvero, dato il disco unitario, privato di un raggio, riesco a dimostrare che questo è omeomorfo al semipiano positivo per le y??
\( X = \{(x,y) \in \mathbb{R}^{2} \quad \text{t.c.} \quad x^2 + y^2 \le 1\} - \{(x,0) \quad \text{t.c.} \quad x \in [0,1]\} \cong H = \{(x,y) \in \mathbb{R}^{2} \quad \text{t.c.} \quad y \ge 0\} \)
la mia domanda è, non posso far vedere che l'omeomorfismo non esiste, in quando X è compatto, mentre H non lo è??
ho questo dubbio, e ho notato che questo esercizio è già stato affrontato quihttps://www.matematicamente.it/forum/ ... 84#p712910
ovvero, dato il disco unitario, privato di un raggio, riesco a dimostrare che questo è omeomorfo al semipiano positivo per le y??
\( X = \{(x,y) \in \mathbb{R}^{2} \quad \text{t.c.} \quad x^2 + y^2 \le 1\} - \{(x,0) \quad \text{t.c.} \quad x \in [0,1]\} \cong H = \{(x,y) \in \mathbb{R}^{2} \quad \text{t.c.} \quad y \ge 0\} \)
la mia domanda è, non posso far vedere che l'omeomorfismo non esiste, in quando X è compatto, mentre H non lo è??
Risposte
Ma sono omeomorfi.. Come già diceva killing_buddha (se non sbaglio) nell'altra discussione. Per vederlo è sufficiente "srotolare" lo spazio ottenendo l'insieme \( [0,1) \times (-\pi, \pi)\) che si può facilmente mappare al semipiano positivo con la mappa \((u, v) \mapsto ( \tan(\pi\,u/2), \tan(v/2))\). Per la mappa dello srotolamento conviene scrivere tutto in coordinate polari.. Ma in questo momento non ho voglia/tempo di derivarla.
Per quanto riguarda la tua domanda.. \(X\) non è chiuso per cui non è compatto..
Per quanto riguarda la tua domanda.. \(X\) non è chiuso per cui non è compatto..
grazie mille, ora ho capito! 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo