Omeomorfismo.
Buongiorno a tutti! Facendo esercizi in vista dell'esame di geometria 4, mi sono imbattuta in questo tema d'esame che mi crea qualche difficolta'.
In $ R^2 $ sia $ X={(x,y)in R^2 | x>=0}-{(0,0)} $
Sia Y lo spazio quoziente di X rispetto alla relazione di equivalenza che identifica i punti (0,t), (t,0), (0,-t) per t>0 e sia $ p: X -> Y $ la proiezione sul quoziente.
1. Dare un esempio di aperto A di X tale che p(A) non sia aperto in Y.
2. Dimostrare che Y e' omeomorfo al prodotto topologico di $S^1 uu S^1 $ e di $R$.
Ora, per risolvere il primo punto ho sfruttato il fatto che, dato che p e' un'identificazione, allora gli aperti di X che hanno immagini aperte sono tutti e soli quelli saturi. Dunque, se considero A aperto non saturo di X, A non e' aperto nello spazio quoziente. Io ho pensato ad $ A = (2,3)xx(-1,1) $: si tratta di un aperto di X tale che $ A nn (t,0) != O/ $ per $ t in (2,3) $.
Dunque, $ p^-1(p(A))=A uu (0,t) uu (0,-t) uu (t,0)$, $ t in (2,3) $ non e' aperto e, in conclusione, p(A) non e' aperto nello spazio quoziente.
A questo punto, pero', mi blocco sul secondo punto: intuitivamente, capisco che tramite le identificazioni degli assi cartesiani (prendendo solo la parte positiva dell'asse x), ottengo due coni attaccati sul semiasse positivo delle ascisse e, quindi, lo spazio quoziente e' effettivamente omeomorfo al prodotto topologico dell'unione di due circonferenze (quelle dei due coni, per intenderci) e $ R $ (anche se io direi $ R+ $). Purtroppo, pero', non saprei come procedere con una dimostrazione rigorosa: in altri esercizi ho sempre sfruttato invarianti topologici per dimostrare che due spazi non sono omeomorfi, in questo caso suppongo di dover trovare una funzione omeomorfismo tra i due spazi, per cominciare...
Qualcuno riesce a darmi una dritta?
Ringrazio in anticipo chi avra' la pazienza di spiegarmi.
In $ R^2 $ sia $ X={(x,y)in R^2 | x>=0}-{(0,0)} $
Sia Y lo spazio quoziente di X rispetto alla relazione di equivalenza che identifica i punti (0,t), (t,0), (0,-t) per t>0 e sia $ p: X -> Y $ la proiezione sul quoziente.
1. Dare un esempio di aperto A di X tale che p(A) non sia aperto in Y.
2. Dimostrare che Y e' omeomorfo al prodotto topologico di $S^1 uu S^1 $ e di $R$.
Ora, per risolvere il primo punto ho sfruttato il fatto che, dato che p e' un'identificazione, allora gli aperti di X che hanno immagini aperte sono tutti e soli quelli saturi. Dunque, se considero A aperto non saturo di X, A non e' aperto nello spazio quoziente. Io ho pensato ad $ A = (2,3)xx(-1,1) $: si tratta di un aperto di X tale che $ A nn (t,0) != O/ $ per $ t in (2,3) $.
Dunque, $ p^-1(p(A))=A uu (0,t) uu (0,-t) uu (t,0)$, $ t in (2,3) $ non e' aperto e, in conclusione, p(A) non e' aperto nello spazio quoziente.
A questo punto, pero', mi blocco sul secondo punto: intuitivamente, capisco che tramite le identificazioni degli assi cartesiani (prendendo solo la parte positiva dell'asse x), ottengo due coni attaccati sul semiasse positivo delle ascisse e, quindi, lo spazio quoziente e' effettivamente omeomorfo al prodotto topologico dell'unione di due circonferenze (quelle dei due coni, per intenderci) e $ R $ (anche se io direi $ R+ $). Purtroppo, pero', non saprei come procedere con una dimostrazione rigorosa: in altri esercizi ho sempre sfruttato invarianti topologici per dimostrare che due spazi non sono omeomorfi, in questo caso suppongo di dover trovare una funzione omeomorfismo tra i due spazi, per cominciare...
Qualcuno riesce a darmi una dritta?
Ringrazio in anticipo chi avra' la pazienza di spiegarmi.
Risposte
Ci stavo sbattendo la testa anche io, forse ho trovato una soluzione, ma è tutta da controllare.
Innanzitutto per R o R+ non c'è problema, sono omeomorfi tramite l'applicazione logx, quindi basta pensarlo per R+, e al massimo, se proprio vogliamo, aggiungere un log da qualche parte
.
Poi, come al solito, non si cerca un'applicazione direttamente dallo spazio quoziente allo spazi di arrivo, ma si cerca un'applicazione suriettiva da X allo spazio di arrivo che sia costante sulle classi di equivalenza.
Inoltre i due quadranti sono chiusi per X, quindi per il lemma di incollamento possiamo cercare un'applicazione per il primo quadrante, una per il quarto e incollarle insieme, controllando che siano uguali sull'asse delle x.
Per cui occupiamoci del primo quadrante. Intuitivamente ogni quarto di circonferenza con centro nell'origine viene mandata in una delle due circonferenze e i due punti in relazione tra loro finiscono nel punto comune delle due circonferenze.
Vedendo (S1 U S1) come sottospazio di R2 di due circonferenze passanti per l'origne e centrate in (-1,0) e (1,0) possiamo definire , usando le coordinate polari, l'applicazione dal primo quadarante meno l'orgine a Rx(S1 U S1) che manda il punto
p(cos(z),sen(z)) in
(p,1-cos(4z),-sen(4z))
(è necessario quadruplicare l'angolo affinchè il quarto di circonferenza diventi una circonferenza, il segno meno serve solo per fare percorrere la circonferenza in senso contrario).
Alla stessa maniera possiamo definire l'applicazione dal quarto quadrante meno l'orgine che manda il punto
p(cos(z),sen(z)) in
(p,-1+cos(4z),sen(4z))
le due applicazioni di incollano bene e sono costanti sulle classi di equivalenza.
Funziona?
ah, per definirle su R invece che su R+ è sufficiente cambiare p con log(p)
Innanzitutto per R o R+ non c'è problema, sono omeomorfi tramite l'applicazione logx, quindi basta pensarlo per R+, e al massimo, se proprio vogliamo, aggiungere un log da qualche parte
.Poi, come al solito, non si cerca un'applicazione direttamente dallo spazio quoziente allo spazi di arrivo, ma si cerca un'applicazione suriettiva da X allo spazio di arrivo che sia costante sulle classi di equivalenza.
Inoltre i due quadranti sono chiusi per X, quindi per il lemma di incollamento possiamo cercare un'applicazione per il primo quadrante, una per il quarto e incollarle insieme, controllando che siano uguali sull'asse delle x.
Per cui occupiamoci del primo quadrante. Intuitivamente ogni quarto di circonferenza con centro nell'origine viene mandata in una delle due circonferenze e i due punti in relazione tra loro finiscono nel punto comune delle due circonferenze.
Vedendo (S1 U S1) come sottospazio di R2 di due circonferenze passanti per l'origne e centrate in (-1,0) e (1,0) possiamo definire , usando le coordinate polari, l'applicazione dal primo quadarante meno l'orgine a Rx(S1 U S1) che manda il punto
p(cos(z),sen(z)) in
(p,1-cos(4z),-sen(4z))
(è necessario quadruplicare l'angolo affinchè il quarto di circonferenza diventi una circonferenza, il segno meno serve solo per fare percorrere la circonferenza in senso contrario).
Alla stessa maniera possiamo definire l'applicazione dal quarto quadrante meno l'orgine che manda il punto
p(cos(z),sen(z)) in
(p,-1+cos(4z),sen(4z))
le due applicazioni di incollano bene e sono costanti sulle classi di equivalenza.
Funziona?
ah, per definirle su R invece che su R+ è sufficiente cambiare p con log(p)
Innanzitutto, grazie per la risposta Beltzer! 
La prima parte del tuo ragionamento mi e' chiara, mentre sulla seconda ho qualche problema:
il punto $(rho*cos(z),rho*sen(z))$ viene mandato in $(rho,1-cos(4z),-sen(4z))$, ma non capisco in che modo hai calcolato le coordinate y e z del punto di arrivo. Scusa, ma sono un po' arrugginita con le coordinate cilindriche...
La prima parte del tuo ragionamento mi e' chiara, mentre sulla seconda ho qualche problema:
il punto $(rho*cos(z),rho*sen(z))$ viene mandato in $(rho,1-cos(4z),-sen(4z))$, ma non capisco in che modo hai calcolato le coordinate y e z del punto di arrivo. Scusa, ma sono un po' arrugginita con le coordinate cilindriche...
se dovessi mandare il quadrante in una circonferenza centrata nell'origine l'equazione sarebbe
p(cosx,senx)->(p,cos4x,sen4x); (di fatto mandi il quarto di circonferenza centrato nell'origine con raggio p, in una circonferenza di raggio 1 ad altezza p.)
ora però ci sono due problemi,
1)la circonferenza va traslata di uno a destra
2)vogliamo mandare (p,0,0) tutti e soli i punti che stanno sui due assi, in modo che il punto in cui i due quarti di circonferenze di raggio p (quelle dei due quadrati) si incollino sia l'origine
per risolvere 1) è sufficiente aggiungere uno alla prima componente,
per risolvere 2)è sufficiente cambiare "il verso di percorrenza" della circonferenza.
torna?
p(cosx,senx)->(p,cos4x,sen4x); (di fatto mandi il quarto di circonferenza centrato nell'origine con raggio p, in una circonferenza di raggio 1 ad altezza p.)
ora però ci sono due problemi,
1)la circonferenza va traslata di uno a destra
2)vogliamo mandare (p,0,0) tutti e soli i punti che stanno sui due assi, in modo che il punto in cui i due quarti di circonferenze di raggio p (quelle dei due quadrati) si incollino sia l'origine
per risolvere 1) è sufficiente aggiungere uno alla prima componente,
per risolvere 2)è sufficiente cambiare "il verso di percorrenza" della circonferenza.
torna?
Ok, adesso ho capito e l'esercizio torna! Ti ringrazio moltissimo per la risposta e la pazienza, Beltzer!
Ti ringrazio moltissimo per la risposta e la pazienza, Beltzer!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo