Omeomorfismi e boreliani

[lukath]

Ciao a tutti! Mi è stato assegnato un esercizio in cui mi si chiede di dimostrare che, dato un insieme $S$ boreliano e un insieme $T$ omeomorfo a $S$, allora anche $T$ è un boreliano. Dunque finché $S$ e $T$ sono degli F-sigma o dei G-delta non ci sono problemi... però mi è venuto un dubbio: esistono insiemi boreliani che non sono né F-sigma né G-delta? In quel caso non saprei come procedere con l'esercizio. Grazie mille per l'aiuto

[Pappappero1]

Cosa vuol dire F-sigma e G-delta?

[lukath]

In uno spazio topologico gli F-sigma dovrebbero essere unioni numerabili di chiusi e i G-delta intersezioni numerabili di aperti...

[_fabricius_1]

Se ho ben capito, hai un omeomorfismo tra due spazî topologici $f : X->Y$ e vuoi dimostrare che questo manda boreliani in boreliani. Sono quasi certo che esistano boreliani che non sono né \(F_\sigma\) né \(G_\delta\) anche se ora non mi sovviene alcuna dimostrazione.
Ad ogni modo credo che si possa seguire questo ragionamento: un omeomorfismo, in quanto biiezione, manda \(\sigma\)-algebre in \(\sigma\)-algebre (facile da provare) e rispetta le inclusioni tra \(\sigma\)-algebre. Inoltre manda aperti in aperti. Perciò manderà la più piccola \(\sigma\)-algebra contenente tutti gli aperti (quella dei boreliani) nella più piccola \(\sigma\)-algebra contenente tutti gli aperti.