Omeomorfismi
Ciao a tutti. Vi posto alcuni dubbi che ho trovato risolvendo degli esercizi:
1° Dubbio
Sapendo che esiste un omeomorfismo tra $B_1(0)$ ed $R^n$ come faccio a dimostrare che $B_r(x)$ è omeomorfo ad $R^n$?
2° Dubbio
Se ho $r>0$ e $s>0$, $x in R^n$ ed anche $y in R^n$. Come dimostro che $Q_r(x)$ e $Q_s(y)$(quadrati di $R^n$) sono varietà topologiche omeomorfe? E che lo sono anche $B_r(x)$ e $B_s(y)$ (bolle di $R^n$)?
3° Dubbio
Dovrei dimostrare che $X$ unione delle circonferenze di raggio $1$ e centri $(1,0)$ e $(-1,0)$ non è omeomorfo ne ad $S^1$ né a $[0,1]$
1° Dubbio
Sapendo che esiste un omeomorfismo tra $B_1(0)$ ed $R^n$ come faccio a dimostrare che $B_r(x)$ è omeomorfo ad $R^n$?
2° Dubbio
Se ho $r>0$ e $s>0$, $x in R^n$ ed anche $y in R^n$. Come dimostro che $Q_r(x)$ e $Q_s(y)$(quadrati di $R^n$) sono varietà topologiche omeomorfe? E che lo sono anche $B_r(x)$ e $B_s(y)$ (bolle di $R^n$)?
3° Dubbio
Dovrei dimostrare che $X$ unione delle circonferenze di raggio $1$ e centri $(1,0)$ e $(-1,0)$ non è omeomorfo ne ad $S^1$ né a $[0,1]$
Risposte
Posta un tuo tentativo di risoluzione, o almeno qualche tua idea, non chiedere che ti venga seccamente risolto l'esercizio. Magari prova a costruire esplicitamente gli omeomorfismi richiesti.
Stavo pensando che il primo dubbio viene da solo se riesco a risolvere il secondo.
Per il secondo per la parte su $Q_r(x)$ e $Q_s(y)$ ho provato in questo modo:
$f:Q_1(0) -> Q_s(y)$ e preso un $x$ tale che $|x|<1$ ad $x$ associa $sx+y$ poiché in questo modo $|sx+y-y| <= s|x| = s$.
Prendo $g: Q_r(x) -> Q_1(0)$ che a $z$ associa $\frac {z-x}{r}$ quindi siccome $|z-x|
Ora per quello sulle bolle $B_r(x)$ e $B_s(y)$ invece vorrei sapere se posso procedere nello stesso modo del caso di $Q_r(x)$ e $Q_s(y)$ solo che invece del valore assoluto prendo il modulo.
Allora per il terzo dubbio ho provato a risolverlo così. $X=Fr(D_1(1,0)) uu Fr(D_1(-1,0))$ se ora da questo insieme tolgo il punto $(0,0)$ questo ha $4$ componenti connesse mentre $S^1$ ne ha $1$ e infine $[0,1]$ ne ha al massimo 2. Quindi per l'invarianza delle componenti connesse dovrebbero non essere omeomorfi. Ho il dubbio sul numero delle componenti connesse e se la dimostrazione va bene così.
Per il secondo per la parte su $Q_r(x)$ e $Q_s(y)$ ho provato in questo modo:
$f:Q_1(0) -> Q_s(y)$ e preso un $x$ tale che $|x|<1$ ad $x$ associa $sx+y$ poiché in questo modo $|sx+y-y| <= s|x| = s$.
Prendo $g: Q_r(x) -> Q_1(0)$ che a $z$ associa $\frac {z-x}{r}$ quindi siccome $|z-x|
Ora per quello sulle bolle $B_r(x)$ e $B_s(y)$ invece vorrei sapere se posso procedere nello stesso modo del caso di $Q_r(x)$ e $Q_s(y)$ solo che invece del valore assoluto prendo il modulo.
Allora per il terzo dubbio ho provato a risolverlo così. $X=Fr(D_1(1,0)) uu Fr(D_1(-1,0))$ se ora da questo insieme tolgo il punto $(0,0)$ questo ha $4$ componenti connesse mentre $S^1$ ne ha $1$ e infine $[0,1]$ ne ha al massimo 2. Quindi per l'invarianza delle componenti connesse dovrebbero non essere omeomorfi. Ho il dubbio sul numero delle componenti connesse e se la dimostrazione va bene così.
1. e 2. sono solo questione di osservare che traslazioni e omotetie sono omeomorfismi, e trovare quelli giusti.
3. è più delicato. Il discorso delle componenti connesse è una buona idea, ma lo devi svolgere bene. Se togli $(0, 0)$ io conto solo due componenti connesse, il che ci dice che sicuramente $X$ non è omeomorfo ad $S^1$. Ma potrebbe essere omeomorfo a $[0, 1]$.
3. è più delicato. Il discorso delle componenti connesse è una buona idea, ma lo devi svolgere bene. Se togli $(0, 0)$ io conto solo due componenti connesse, il che ci dice che sicuramente $X$ non è omeomorfo ad $S^1$. Ma potrebbe essere omeomorfo a $[0, 1]$.
"dissonance":
1. e 2. sono solo questione di osservare che traslazioni e omotetie sono omeomorfismi, e trovare quelli giusti.
Ma quelli che ho trovato io possono andar bene?
"dissonance":
3. è più delicato. Il discorso delle componenti connesse è una buona idea, ma lo devi svolgere bene. Se togli $(0, 0)$ io conto solo due componenti connesse, il che ci dice che sicuramente $X$ non è omeomorfo ad $S^1$. Ma potrebbe essere omeomorfo a $[0, 1]$.
Se allora faccio questo ragionamento: Se $[0, 1]$ e $X$ fossero omeomorfi in $(0,0)$ allora c'è un aperto di $X$ che è omeomorfo ad un aperto di $[0,1]$ ma gli aperti di quest'ultimo sono tutti intervalli mentre per $X$ se prendiamo un aperto di $(0,0)$ e togliamo proprio il punto $(0,0)$ allora avremo che questo avrebbe quattro componenti connesse mentre un aperto di $[0,1]$ meno un punto ha al massimo due componenti connesse. Così è più giusto?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo