Omeomorfismi
devo dimostrare che una certa applicazione tra spazi topologici è un omeomorfismo. Allora basta far vedere che ha un'inversa continua completa?
Risposte
Devi far vedere che è continua, bigettiva e che ha inversa continua, oppure puoi sostituire l'ultima condizione con l'essere aperta o equivalentemente chiusa.
il fatto che l'inversa sia completa non basta per asserire che la funzione sia bigettiva?
EDIT. ho dimenticato nel primo post di scrivere che ovviamente l'applicazione dev'essere continua
EDIT. ho dimenticato nel primo post di scrivere che ovviamente l'applicazione dev'essere continua
Perdonami cosa vuol dire inversa completa?
che ha come dominio il codominio della funzione e come codominio il suo dominio
Io credo che non basti. Prendi $RR$ con la topologia discreta (dominio) con la topologia indiscreta su codominio. Considera inoltre l'applicazione identità.
Ovviamente è continua, perchè $RR$ e $\emptyset$ sono aperti di $(RR,P(RR))$ e dominio e codominio coincidono, cioè le condizioni che asserisci tu.
E' anche bigettiva, tuttavia non è aperta, infatti $id({x})={x}$ che non è un aperto di $RR$ (con la topologia indiscreta).
Ovviamente è continua, perchè $RR$ e $\emptyset$ sono aperti di $(RR,P(RR))$ e dominio e codominio coincidono, cioè le condizioni che asserisci tu.
E' anche bigettiva, tuttavia non è aperta, infatti $id({x})={x}$ che non è un aperto di $RR$ (con la topologia indiscreta).
infatti io ho richiesto che anche l'inversa sia continua: l'inversa dell'identità è l'identità dalla topologia indiscreta a quella discreta, tuttavia non è continua perchè la controimmagine di un aperto non è un aperto.
in pratica dire che l'inversa è continua equivale a dire che la funzione è aperta (dato che l'inversa è completa) sbaglio?
in pratica dire che l'inversa è continua equivale a dire che la funzione è aperta (dato che l'inversa è completa) sbaglio?
Ero convinto di non averlo letto. Scusami tanto per il malinteso
Ci ho pensato un po'. Per parlare di applicazione inversa hai bisogno di mostrare che è bigettiva, altrimenti tale applicazione non esiste. Esiste la controimmagine. E il fatto che che la controimmagine di un qualsiasi aperto sia un aperto non ti garantisce la bigettività, nemmeno se il codominio coincide con l'immagine e viceversa.
Pensavo a funzioni fatte così, definite su $RR$ $f(x)= \{(0 ,if x<=0),(1 ,if x>0):}$. Prendi poi come spazio topologico $S'={0,1}$ con la topologia discreta.
Su $RR$ definisci la topologia immagine reciproca. Hai che $f$ è continua, $f$ aperta però non è bigettiva.
Almeno questo ho pensato, magari attendiamo pareri più esperti
Pensavo a funzioni fatte così, definite su $RR$ $f(x)= \{(0 ,if x<=0),(1 ,if x>0):}$. Prendi poi come spazio topologico $S'={0,1}$ con la topologia discreta.
Su $RR$ definisci la topologia immagine reciproca. Hai che $f$ è continua, $f$ aperta però non è bigettiva.
Almeno questo ho pensato, magari attendiamo pareri più esperti
un esempio....
devo dimostrare che una corona circolare chiusa è omeomorfa a [tex]S^1 \times [0,1][/tex] dove [tex]S^1 =\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x^2 + y^2 = 1\}[/tex]
per semplicità mostro che [tex]S^1 \times [0,1] \simeq C=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | 1 \leq x^2 + y^2 \leq 4\}[/tex]
creo le seguenti funzioni:
[tex]\phi: S^1 \times [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2[/tex] tale che [tex]\phi(x,y,p)=((p+1)x,(p+1)y)[/tex]
[tex]f:C \rightarrow \mathbb{R}^3[/tex] tale che[tex]f(x,y)=( \frac {x}{\sqrt{x^2+y^2}},\frac {y} {\sqrt{x^2+y^2}}, \sqrt{x^2+y^2}-1)[/tex]
verifico che[tex]f(C) \subset S^1 \times [0,1][/tex] e [tex]\phi(S^1 \times [0,1]) \subset C[/tex] e che se composte nei due versi danno le due identità nei due versi. Dato che sono continue sono omeomorfismi. è giusto??
devo dimostrare che una corona circolare chiusa è omeomorfa a [tex]S^1 \times [0,1][/tex] dove [tex]S^1 =\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x^2 + y^2 = 1\}[/tex]
per semplicità mostro che [tex]S^1 \times [0,1] \simeq C=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | 1 \leq x^2 + y^2 \leq 4\}[/tex]
creo le seguenti funzioni:
[tex]\phi: S^1 \times [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2[/tex] tale che [tex]\phi(x,y,p)=((p+1)x,(p+1)y)[/tex]
[tex]f:C \rightarrow \mathbb{R}^3[/tex] tale che[tex]f(x,y)=( \frac {x}{\sqrt{x^2+y^2}},\frac {y} {\sqrt{x^2+y^2}}, \sqrt{x^2+y^2}-1)[/tex]
verifico che[tex]f(C) \subset S^1 \times [0,1][/tex] e [tex]\phi(S^1 \times [0,1]) \subset C[/tex] e che se composte nei due versi danno le due identità nei due versi. Dato che sono continue sono omeomorfismi. è giusto??
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