Omeomorfismi
Dimostrare che se X e Y sono omeomorfi tramite f allora anche $X-{x}$ e $Y-{f(x)}$ lo sono.
Allora $f$ ristretta a quel dominio è ancora biunivoca perchè anche il codominio è ristretto.Quello che manca è la verifica che si mantenga la continuità.
Ora sia $A in tau_y$ allora $f^-1(A)$ è un aperto sia se $x in f^-1(A)$ sia se x non gli apppartiene dato che un aperto meno un punto è un aperto.
Analogamente si controlla la continuità sull'inversa.
Potevo risolverlo meglio?
Grazie a presto.
Allora $f$ ristretta a quel dominio è ancora biunivoca perchè anche il codominio è ristretto.Quello che manca è la verifica che si mantenga la continuità.
Ora sia $A in tau_y$ allora $f^-1(A)$ è un aperto sia se $x in f^-1(A)$ sia se x non gli apppartiene dato che un aperto meno un punto è un aperto.
Analogamente si controlla la continuità sull'inversa.
Potevo risolverlo meglio?
Grazie a presto.
Risposte
"squalllionheart":
un aperto meno un punto è un aperto.
Sei sicuro di tale affermazione?
Un insieme $A$ è aperto se per ogni punto $p$ esiste un intorno di $p$ interamente contenuto in $A$ ora togliendo ad $A$ un punto qualsiasi, tale condizione rimane immutata.
"squalllionheart":
Un insieme $A$ è aperto se per ogni punto $p$ esiste un intorno di $p$ interamente contenuto in $A$ ora togliendo ad $A$ un punto qualsiasi, tale condizione rimane immutata.
In verità no, ad esempio se consideri
$X={a,b,c}$ e $\theta={\emptyset\quad(a)\quad(a,b)\quad(a,b,c)}$
se all'aperto $(a,b)$ levo il punto $a$, ottengo $(b)$ che non è aperto,per come ho definito la topologia $theta$ in questione.
Quello che hai detto tu può essere erroneamente dedotto se immagini la situazione graficamente, cioè se avvicini la mentalità alla topologia euclidea.
Ovviamente con la topologia euclidea ciò che ti hai detto è corretto, ma non vale in generale.
Un altro esempio per cui ciò che dici è falso è la topologia indiscreta.
Ora che ci penso, se uno spazio è $T1$ vale la tua affermazione. Ora questa è sicuramente una condizione sufficiente, non so se necessaria.
"Steven":
Un altro esempio per cui ciò che dici è falso è la topologia indiscreta...
... che è quella topologia che si impiccia degli affari altrui?
No, davvero, indiscreta non l'avevo mai sentito...
@Steven
Lo puoi vedere come intersezione di $A$ con $RR^n - x_0$.
Quindi il fatto vale anche più in generale, in spazi topologici (si basa sul fatto che la intersezione di una famiglia finita di aperti è un aperto), purché lo spazio privato di un punto sia un aperto. Che è il punto dirimente, come osservi nel post scritto "in contemporanea" con questo.
@Gugo82: si usa, si usa...
Lo puoi vedere come intersezione di $A$ con $RR^n - x_0$.
Quindi il fatto vale anche più in generale, in spazi topologici (si basa sul fatto che la intersezione di una famiglia finita di aperti è un aperto), purché lo spazio privato di un punto sia un aperto. Che è il punto dirimente, come osservi nel post scritto "in contemporanea" con questo.
@Gugo82: si usa, si usa...
Quindi che dite funge?
Uh, ma che noioso, in questa domenica uggiosa. Lasciaci un po' andare OT, che dobbiamo dare il cattivo esempio!
OT???
a saperlo andavo a spasso
Un attimo di concentrazione? mi piace metterele le X sugli esercizi svolti O mi farete consumare nell'attesa
a saperlo andavo a spasso
Un attimo di concentrazione? mi piace metterele le X sugli esercizi svolti
O mi farete consumare nell'attesa
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