Omeomorfismi
Ho il seguente esercizio:
Sia $I$ l'intervallo chiuso $[0,1]$ e $~$ l'equivalenza su $I$ definita da $x~x'$ se e solo se $x=x'$ o ${x, x'} = {0, 1}$; dimostrare che $I/~$ è omeomorfo a $S^1$
Allora a livello intuitivo penso che sia banale..prendendo l'intervallo [0,1] io lo posso 'curvare' fino a far coincidere le due estremità e quindi ottengo una circonferenza, comunque per dimostrarlo ho provato a dire questo:
In pratica, devo dimostrare che esiste una funzione g tra $I/~$ ed $S^1$ che sia un omeomorfismo ovvero, che sia biettiva, che sia continua e che abbia inversa continua. Allora, io so che tra $I$ ed il quoziente esiste un'applicazione naturale p (l'applicazione canonica) che è suriettiva. In pratica la mia funzione g è biettiva (banalmente) ed è continua poiché è restrizione di funzioni continue, ora devo solamente dimostrare che l'inversa è continua o analogamente dimostro che g è una funzione aperta, cioè manda aperti in aperti. Prendo così per esempio A un aperto di $I/~$ e devo dimostrare che g(A) è un aperto di $S^1$ ora, posso scrivere che A= $pp^-1A$ (questo poiché p è suriettiva), da qui ne segue che g(A)= $gpp^-1(A)$ e quindi che g(A) = $f(p^-1(A))$ che è proprio un aperto di $S^1$.
Con ciò avrei dimostrato che l'applicazione g è un omeomorfismo, ma non sono sicura del mio ragionamento..se magari qualcuno potrebbe aiutarmi
Sia $I$ l'intervallo chiuso $[0,1]$ e $~$ l'equivalenza su $I$ definita da $x~x'$ se e solo se $x=x'$ o ${x, x'} = {0, 1}$; dimostrare che $I/~$ è omeomorfo a $S^1$
Allora a livello intuitivo penso che sia banale..prendendo l'intervallo [0,1] io lo posso 'curvare' fino a far coincidere le due estremità e quindi ottengo una circonferenza, comunque per dimostrarlo ho provato a dire questo:
In pratica, devo dimostrare che esiste una funzione g tra $I/~$ ed $S^1$ che sia un omeomorfismo ovvero, che sia biettiva, che sia continua e che abbia inversa continua. Allora, io so che tra $I$ ed il quoziente esiste un'applicazione naturale p (l'applicazione canonica) che è suriettiva. In pratica la mia funzione g è biettiva (banalmente) ed è continua poiché è restrizione di funzioni continue, ora devo solamente dimostrare che l'inversa è continua o analogamente dimostro che g è una funzione aperta, cioè manda aperti in aperti. Prendo così per esempio A un aperto di $I/~$ e devo dimostrare che g(A) è un aperto di $S^1$ ora, posso scrivere che A= $pp^-1A$ (questo poiché p è suriettiva), da qui ne segue che g(A)= $gpp^-1(A)$ e quindi che g(A) = $f(p^-1(A))$ che è proprio un aperto di $S^1$.
Con ciò avrei dimostrato che l'applicazione g è un omeomorfismo, ma non sono sicura del mio ragionamento..se magari qualcuno potrebbe aiutarmi
Risposte
Mi sono perso qualcosa ho ti sei dimenticato di definire $g$? E chi è $f$?
In questo tipo di esercizi a me piace sempre scrivere le cose esplicitamente. Quindi definirei in coordinate la funzione che manda $[0,1]$ in $S^1$ "incollando i due estremi" e farei vedere che quella passa al quoziente e che sul quoziente è invertibile e con inversa continua. In realtà è tuttomolto facile, perché il quoziente sulla relazione viene a essere proprio il quoziente sulla funzione che definisci.
In questo tipo di esercizi a me piace sempre scrivere le cose esplicitamente. Quindi definirei in coordinate la funzione che manda $[0,1]$ in $S^1$ "incollando i due estremi" e farei vedere che quella passa al quoziente e che sul quoziente è invertibile e con inversa continua. In realtà è tuttomolto facile, perché il quoziente sulla relazione viene a essere proprio il quoziente sulla funzione che definisci.
scusami mi sono scordata di dire chi sono f e g xD
allora f sarebbe la funzione che va da $I$ ad $S^1$ mentre g è la funzione del quoziente in $S^1$
allora f sarebbe la funzione che va da $I$ ad $S^1$ mentre g è la funzione del quoziente in $S^1$
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