Ogni isometria inversa priva di punti uniti è una glissoriflessione
Ho un po' di difficoltà con la dimostrazione di questa proposizione.
Ogni isometria inversa di $E_2$ (spazio affine euclideo) priva di punti uniti (si dice che $P$ è un punto unito per l'affinità $phi$ se $phi(P)=P$) è una glissoriflessione.
Dimostrazione
Sia $phi:E_2->E_2$ un'isometria inversa priva di punti uniti.
Sia $R(O,B)$ riferimento cartesiano.
L'isometria $phi$ ha equazione $phi:X'=AX+b$ con $A=( ( cos(theta) , sin(theta)), (sen(theta) , -cos(theta) ) ), theta\in[0,2pi)$
$phi^2$ è isometria di equazione $phi^2:X'=A(AX+b)+b=A^2X+Ab+b$ con $A^2=I_2$ dunque $X'=X+Ab+b$.
$phi^2$ è dunque una traslazione di vettore v di componenti $Ab+b$. Verifichiamo che $Ab+b!=0$.
Se fosse $Ab+b=0", "A(b/2)+b=Ab/2+b=-b/2+b=b/2$ allora $b/2$ è soluzione del sistema $X=AX+b$ allora $phi$ ammette un punto unito e ciò è assurdo.
Perché $Ab/2=-b/2$?
Qual è la relazione che intercorre tra $X=AX+b$ e $phi:X'=AX+b$?.Cioè perché il fatto che il primo sistema ammetta soluzioni mi permette di concludere qualcosa per $phi$ ?
Continua. Sia $w$ il vettore di componenti $(Ab+b)/2!=0$ e consideriamo la traslazione $t_w$.
$(t^-1)_w=t_(-w)$.
Proviamo che $psi:=t_(-w)@phi$ ($rArr phi=t_w@psi$)
Provo che $psi$ è una riflessione rispetto a una retta $r$ di giacitura generata da $w$ ($rArr phi=t_w@psi$ è una glissoriflessione)
$psi$ è isometria perché composizione di isometrie. $psi$ ha la stessa parte lineare di $phi$ pertanto è isometria inversa. Questa affermazione segue dal fatto che la traslazione ha parte lineare uguale a all'identità?
Verifichiamo che $psi$ ammette almeno un punto unito.
$psi=t_(-w)@phi:X'=AX+b-(Ab+b)/2=AX-(Ab-b)/2$. Ancora, $b/2$risolve il sistema $X=AX-(Ab-b)/2$ allora $psi$ ammette almeno un punto unito quindi $psi$ è una riflessione rispetto a una retta.
Caso analogo alla domanda di prima
Infine, per provare che $psi$ è una riflessione rispetto a una retta di giacitura generata da $w$ di componenti $(Ab+b)/2$, è sufficiente verificare che $w$ è autovettore della parte lineare di $psi$ con autovalore $1$:
$A*(Ab+b)/2=A^2b/2+Ab/2=b/2+Ab/2=(Ab+b)/2$
Anche qui mi sfugge qualcosa. Ha dimostrato che $L(w)=A*w=1*w$ con $L$ parte lineare di $psi$ però perché dimostrare che è un autovettore con autovalore $1$ conclude la dimostrazione?
Vi ringrazio per l'aiuto!
Ogni isometria inversa di $E_2$ (spazio affine euclideo) priva di punti uniti (si dice che $P$ è un punto unito per l'affinità $phi$ se $phi(P)=P$) è una glissoriflessione.
Dimostrazione
Sia $phi:E_2->E_2$ un'isometria inversa priva di punti uniti.
Sia $R(O,B)$ riferimento cartesiano.
L'isometria $phi$ ha equazione $phi:X'=AX+b$ con $A=( ( cos(theta) , sin(theta)), (sen(theta) , -cos(theta) ) ), theta\in[0,2pi)$
$phi^2$ è isometria di equazione $phi^2:X'=A(AX+b)+b=A^2X+Ab+b$ con $A^2=I_2$ dunque $X'=X+Ab+b$.
$phi^2$ è dunque una traslazione di vettore v di componenti $Ab+b$. Verifichiamo che $Ab+b!=0$.
Se fosse $Ab+b=0", "A(b/2)+b=Ab/2+b=-b/2+b=b/2$ allora $b/2$ è soluzione del sistema $X=AX+b$ allora $phi$ ammette un punto unito e ciò è assurdo.
Perché $Ab/2=-b/2$?
Qual è la relazione che intercorre tra $X=AX+b$ e $phi:X'=AX+b$?.Cioè perché il fatto che il primo sistema ammetta soluzioni mi permette di concludere qualcosa per $phi$ ?
Continua. Sia $w$ il vettore di componenti $(Ab+b)/2!=0$ e consideriamo la traslazione $t_w$.
$(t^-1)_w=t_(-w)$.
Proviamo che $psi:=t_(-w)@phi$ ($rArr phi=t_w@psi$)
Provo che $psi$ è una riflessione rispetto a una retta $r$ di giacitura generata da $w$ ($rArr phi=t_w@psi$ è una glissoriflessione)
$psi$ è isometria perché composizione di isometrie. $psi$ ha la stessa parte lineare di $phi$ pertanto è isometria inversa. Questa affermazione segue dal fatto che la traslazione ha parte lineare uguale a all'identità?
Verifichiamo che $psi$ ammette almeno un punto unito.
$psi=t_(-w)@phi:X'=AX+b-(Ab+b)/2=AX-(Ab-b)/2$. Ancora, $b/2$risolve il sistema $X=AX-(Ab-b)/2$ allora $psi$ ammette almeno un punto unito quindi $psi$ è una riflessione rispetto a una retta.
Caso analogo alla domanda di prima
Infine, per provare che $psi$ è una riflessione rispetto a una retta di giacitura generata da $w$ di componenti $(Ab+b)/2$, è sufficiente verificare che $w$ è autovettore della parte lineare di $psi$ con autovalore $1$:
$A*(Ab+b)/2=A^2b/2+Ab/2=b/2+Ab/2=(Ab+b)/2$
Anche qui mi sfugge qualcosa. Ha dimostrato che $L(w)=A*w=1*w$ con $L$ parte lineare di $psi$ però perché dimostrare che è un autovettore con autovalore $1$ conclude la dimostrazione?
Vi ringrazio per l'aiuto!
Risposte
"paolo1712":Perché $b$ è un elemento dell'autospazio di -1 di $A$. Che è un sottospazio vettoriale.
Perché $Ab/2=-b/2$?
Gli autovalori associati ad $A$ sono $-1$ e $1$, perché $b$ è un elemento dell'autospazio di $-1$ e non di $1$?
"paolo1712":
Gli autovalori associati ad $A$ sono $-1$ e $1$, perché $b$ è un elemento dell'autospazio di $-1$ e non di $1$?
Beh, ma perché \(Ab+b=0\) se e solo se \(Ab=-b\)...
giusto... 
Invece per quanto riguarda la parte finale, $psi$ è una riflessione rispetto all'iperpiano $r$ e devo dimostrare che la giacitura di $r$ è $$. Perché per farlo devo dimostrare che $w\inV_1$?
Invece per quanto riguarda la parte finale, $psi$ è una riflessione rispetto all'iperpiano $r$ e devo dimostrare che la giacitura di $r$ è $
I punti fissi di una mappa lineare sono, tautologicamente, gli autovettori dell'autospazio di 1.
Ok quindi ho dimostrato che ammette almeno un punto fisso, ora devo dimostrare che esiste un insieme di punti fissi che coincide con la retta $r$ ovvero $Fix(psi):={P\in E_n|psi(P)=P}$ la cui giacitura è l'autospazio relativo a 1?
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