Numero punti piano del proiettivo
Usando gli assiomi del piano proiettivo determinare quanti punti ha il piano proiettivo se una retta ha $n$ punti.
Nell'esercizio equivalente per il piano affine ho provato, unsando l'assioma delle parallele, che ha $n^2$ punti. In questo esercizio però non saprei come fare...
Nell'esercizio equivalente per il piano affine ho provato, unsando l'assioma delle parallele, che ha $n^2$ punti. In questo esercizio però non saprei come fare...
Risposte
C'è un teorema che afferma quanto segue:
Dato un piano affine [tex]\mathbb{A}_2[/tex], consideriamo l'insieme quoziente
[tex]\displatstyle i_{\infty}=\sum /\mathcal{R}[/tex]
dove [tex]\sum[/tex] è l'insieme delle rette di [tex]\mathbb{A}_2[/tex] e [tex]\mathcal{R}[/tex] è la relazione (di equivalenza) di parallelismo fra rette.
Posto [tex]\mathbb{S}_2=\mathbb{A}_2\cup i_{\infty}[/tex], si ha che [tex]\mathbb{S}_2[/tex] ha struttura di piano geometrico proiettivo (quindi [tex]\mathbb{S}_2[/tex] è bigettivo al piano numerio proiettivo [tex]\mathbb{K}P_2[/tex]).
Questo [tex]\mathbb{S}_2[/tex] si chiama piano geometrico proiettivo ottenuto estendendo il piano affine con la retta impropria.
La parte interessante di questo teorema è che, si dimostra, ogni piano proiettivo si può ottenere come estensione di un piano affine.
Precisamente, dato [tex]\mathbb{S}_2[/tex] piano proiettivo. Allora esiste [tex]\pi\subset\mathbb{S}_2[/tex] tale che [tex]\pi[/tex] può essere munito di struttura di piano affine (sullo stesso campo [tex]\mathbb{K}[/tex]) e tale che [tex]\mathbb{S}_2[/tex] è estensione di [tex]\pi[/tex] con la retta impropria.
Ora, detto questo, veniamo a noi. Se non ho capito male, hai provato che, se in un piano affine ogni retta ha $n$ punti, allora il piano affine ha $n^2$ punti.
Ora dato un piano proiettivo, che per quanto detto può essere scelto del tipo [tex]\mathbb{A}_2\cup i_{\infty}[/tex], ogni retta ha $n$ punti. Quindi ogni retta affine ha $n-1$ punti (ogni retta è formata da una parte affine e da un punto all'infinito). Quindi [tex]\mathbb{A}_2[/tex] ha $(n-1)^2$ punti. La retta impropria ha $n$ punti.
In totale, abbiamo $(n-1)^2+n=n^2-n+1$ punti.
A me sembra che il ragionamento fili. Che ne dici?
Dato un piano affine [tex]\mathbb{A}_2[/tex], consideriamo l'insieme quoziente
[tex]\displatstyle i_{\infty}=\sum /\mathcal{R}[/tex]
dove [tex]\sum[/tex] è l'insieme delle rette di [tex]\mathbb{A}_2[/tex] e [tex]\mathcal{R}[/tex] è la relazione (di equivalenza) di parallelismo fra rette.
Posto [tex]\mathbb{S}_2=\mathbb{A}_2\cup i_{\infty}[/tex], si ha che [tex]\mathbb{S}_2[/tex] ha struttura di piano geometrico proiettivo (quindi [tex]\mathbb{S}_2[/tex] è bigettivo al piano numerio proiettivo [tex]\mathbb{K}P_2[/tex]).
Questo [tex]\mathbb{S}_2[/tex] si chiama piano geometrico proiettivo ottenuto estendendo il piano affine con la retta impropria.
La parte interessante di questo teorema è che, si dimostra, ogni piano proiettivo si può ottenere come estensione di un piano affine.
Precisamente, dato [tex]\mathbb{S}_2[/tex] piano proiettivo. Allora esiste [tex]\pi\subset\mathbb{S}_2[/tex] tale che [tex]\pi[/tex] può essere munito di struttura di piano affine (sullo stesso campo [tex]\mathbb{K}[/tex]) e tale che [tex]\mathbb{S}_2[/tex] è estensione di [tex]\pi[/tex] con la retta impropria.
Ora, detto questo, veniamo a noi. Se non ho capito male, hai provato che, se in un piano affine ogni retta ha $n$ punti, allora il piano affine ha $n^2$ punti.
Ora dato un piano proiettivo, che per quanto detto può essere scelto del tipo [tex]\mathbb{A}_2\cup i_{\infty}[/tex], ogni retta ha $n$ punti. Quindi ogni retta affine ha $n-1$ punti (ogni retta è formata da una parte affine e da un punto all'infinito). Quindi [tex]\mathbb{A}_2[/tex] ha $(n-1)^2$ punti. La retta impropria ha $n$ punti.
In totale, abbiamo $(n-1)^2+n=n^2-n+1$ punti.
A me sembra che il ragionamento fili. Che ne dici?
Si mi convince, anche se non mi sembra che in questo caso siamo in un campo, cioè: siamo nel discreto... o non c'entra niente?
Comunque il problema è che il libro che sto seguendo propone un approccio assiomatico e quindi per questi esercizi richiede una soluzione in cui vengano citati espressamente gli assiomi che si usano.
Gli assiomi sono:
P1: Per due punti distinti passa una e una sola retta.
P2: Due rette si incontrano almeno in un punto.
P3: Esistono 3 puti non collineari.
P4: Ongi retta contiene almeno tre punti.
Gli assiomi dell'affine sono 3:
A1 = P1.
A2: Data una retta e un punto esterno, esiste unica una retta passante per qual punto e parallela alla retta data.
A3= P3.
Ad esempio per l'esrcizio sugli spazi affini ho fatto:
A3 -> ho 3 punti non allineati A, B, C; A1 -> prendo una retta $r$ per A e B e una retta $s$ per B e C. La retta $s$ ha $n$ punti, per ogni punto X di $s$ diverso da B considerero la retta passante per X e parallela a $r$. Così trovo $n$ rette distinte e quindi $n^2$ punti, quindi so che i punti del piano sono $>=n^2$. Se c'è un punto Y che non appartiene a questa "griglia" faccio vedere che la retta parallela a $r$ e passante per quel punto deve interesecare $s$ in un punto (per transitività parallelismo) e quindi Y era già stato contato.
Il problema del secondo esercizio, per me, sta nel non poter costruire una griglia di rette parallele.
Comunque il problema è che il libro che sto seguendo propone un approccio assiomatico e quindi per questi esercizi richiede una soluzione in cui vengano citati espressamente gli assiomi che si usano.
Gli assiomi sono:
P1: Per due punti distinti passa una e una sola retta.
P2: Due rette si incontrano almeno in un punto.
P3: Esistono 3 puti non collineari.
P4: Ongi retta contiene almeno tre punti.
Gli assiomi dell'affine sono 3:
A1 = P1.
A2: Data una retta e un punto esterno, esiste unica una retta passante per qual punto e parallela alla retta data.
A3= P3.
Ad esempio per l'esrcizio sugli spazi affini ho fatto:
A3 -> ho 3 punti non allineati A, B, C; A1 -> prendo una retta $r$ per A e B e una retta $s$ per B e C. La retta $s$ ha $n$ punti, per ogni punto X di $s$ diverso da B considerero la retta passante per X e parallela a $r$. Così trovo $n$ rette distinte e quindi $n^2$ punti, quindi so che i punti del piano sono $>=n^2$. Se c'è un punto Y che non appartiene a questa "griglia" faccio vedere che la retta parallela a $r$ e passante per quel punto deve interesecare $s$ in un punto (per transitività parallelismo) e quindi Y era già stato contato.
Il problema del secondo esercizio, per me, sta nel non poter costruire una griglia di rette parallele.
Sì, io stavo pensando al piano affine introdotto a partire da uno spazio vettoriale su un campo $K$.
Comunque, secondo me, si può utilizzare un'idea simile a quella usata nel mio post precedente.
Mi spiego meglio:
Hai il piano proiettivo [tex]P_2[/tex]. Prendi una retta qualsiasi di [tex]P_2[/tex], chiamiamola [tex]i_\infty[/tex].
Definiamo [tex]A_2=P_2\setminus i_\infty[/tex].
Data una retta [tex]\bar{r}[/tex] di [tex]P_2[/tex] diversa da [tex]i_\infty[/tex], dalle ipotesi [tex]r\cap i_\infty[/tex] contiene un solo punto [tex]R_\infty[/tex].
Definisco [tex]r=\bar{r}\setminus\{R_{\infty}\}[/tex]. Ovviamente [tex]r\subset A_2[/tex].
Definisco retta di [tex]A_2[/tex], ogni retta [tex]r[/tex] ottenuta a partire da una retta [tex]\bar{r}[/tex] di [tex]P_2[/tex] come sopra.
Date due rette di [tex]A_2[/tex], dico che esse sono parallele se non hanno alcun punto in comune.
Non l'ho verificato, ma, secondo me, si può provare che [tex]A_2[/tex] è un piano affine, cioè verifica gli assiomi A1, A2, A3. Prova un po'...
Una volta fatto ciò, ottieni che le rette di [tex]A_2[/tex] hanno [tex]n-1[/tex] elementi e quindi [tex]A_2[/tex] ha [tex](n-1)^2[/tex] punti.
Da cui [tex]P_2[/tex] ha [tex](n-1)^2+n[/tex] punti.
Comunque, secondo me, si può utilizzare un'idea simile a quella usata nel mio post precedente.
Mi spiego meglio:
Hai il piano proiettivo [tex]P_2[/tex]. Prendi una retta qualsiasi di [tex]P_2[/tex], chiamiamola [tex]i_\infty[/tex].
Definiamo [tex]A_2=P_2\setminus i_\infty[/tex].
Data una retta [tex]\bar{r}[/tex] di [tex]P_2[/tex] diversa da [tex]i_\infty[/tex], dalle ipotesi [tex]r\cap i_\infty[/tex] contiene un solo punto [tex]R_\infty[/tex].
Definisco [tex]r=\bar{r}\setminus\{R_{\infty}\}[/tex]. Ovviamente [tex]r\subset A_2[/tex].
Definisco retta di [tex]A_2[/tex], ogni retta [tex]r[/tex] ottenuta a partire da una retta [tex]\bar{r}[/tex] di [tex]P_2[/tex] come sopra.
Date due rette di [tex]A_2[/tex], dico che esse sono parallele se non hanno alcun punto in comune.
Non l'ho verificato, ma, secondo me, si può provare che [tex]A_2[/tex] è un piano affine, cioè verifica gli assiomi A1, A2, A3. Prova un po'...
Una volta fatto ciò, ottieni che le rette di [tex]A_2[/tex] hanno [tex]n-1[/tex] elementi e quindi [tex]A_2[/tex] ha [tex](n-1)^2[/tex] punti.
Da cui [tex]P_2[/tex] ha [tex](n-1)^2+n[/tex] punti.
"cirasa":
Non l'ho verificato, ma, secondo me, si può provare che [tex]A_2[/tex] è un piano affine, cioè verifica gli assiomi A1, A2, A3. Prova un po'...
Si è vero.
Ok così direi che va bene
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