Numero di sottospazi
Determinare il numero dei sottospazi vettoriali di dimensione 3 di $\mathbb{F}^n$, $n\geq 3$ dove $\mathbb{F}$ è un campo finito di ordine $p$ numero primo.
non so proprio da dove partire
non so proprio da dove partire
Risposte
scusa perchè? non capisco. e come posso contare i vettori?
Io direi:
Lemma 1. Uno spazio 3-dimensionale su $F_p$ ha $(p^3-1)(p^3-p)(p^3-p^2)$ basi.
Dim: per costruire una base scegliamo un vettore $v_1$ non nullo e quindi abbiamo $p^3-1$ scelte. Quindi scegliamo un vettore $v_2$ non multiplo di $v_1$ quindi abbiamo $p^3-p$ scelte (i multipli di $v_1$ sono $p$). Quindi scegliamo un vettore $v_3$ che non sta nello spazio generato da $v_1$ e $v_2$ e quindi abbiamo $p^3-p^2$ scelte (lo spazio generato da $v_1$ e $v_2$ ha dimensione 2 e quindi cardinalità $p^2$).
Lemma 2. Il numero di sottoinsiemi di $F_p^n$ formati da tre vettori linearmente indipendenti è $(p^n-1)(p^n-p)(p^n-p^2)$.
Dim: del tutto analoga a quella precedente.
Conseguenza: il numero di sottospazi 3-dimensionali di $F_p^n$ è uguale a
(numero sottoinsiemi di 3 vettori indipendenti) diviso per (numero di basi che un dato spazio 3-dimensionale ammette),
quindi $((p^n-1)(p^n-p)(p^n-p^2))/((p^3-1)(p^3-p)(p^3-p^2))$.
Se $n=3$ viene 1 quindi almeno in questo è corretto
Che dite, può funzionare?
Lemma 1. Uno spazio 3-dimensionale su $F_p$ ha $(p^3-1)(p^3-p)(p^3-p^2)$ basi.
Dim: per costruire una base scegliamo un vettore $v_1$ non nullo e quindi abbiamo $p^3-1$ scelte. Quindi scegliamo un vettore $v_2$ non multiplo di $v_1$ quindi abbiamo $p^3-p$ scelte (i multipli di $v_1$ sono $p$). Quindi scegliamo un vettore $v_3$ che non sta nello spazio generato da $v_1$ e $v_2$ e quindi abbiamo $p^3-p^2$ scelte (lo spazio generato da $v_1$ e $v_2$ ha dimensione 2 e quindi cardinalità $p^2$).
Lemma 2. Il numero di sottoinsiemi di $F_p^n$ formati da tre vettori linearmente indipendenti è $(p^n-1)(p^n-p)(p^n-p^2)$.
Dim: del tutto analoga a quella precedente.
Conseguenza: il numero di sottospazi 3-dimensionali di $F_p^n$ è uguale a
(numero sottoinsiemi di 3 vettori indipendenti) diviso per (numero di basi che un dato spazio 3-dimensionale ammette),
quindi $((p^n-1)(p^n-p)(p^n-p^2))/((p^3-1)(p^3-p)(p^3-p^2))$.
Se $n=3$ viene 1 quindi almeno in questo è corretto
Che dite, può funzionare?
secondo me funziona bene
In una discussione precedente si è determinato il numero di elementi del gruppo $"GL"_n(\mathbb(F))$. Il link è https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#240598 ... Magari può essere d'aiuto.
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