Numeri direttori di una retta

[Froz3n]

Ciao avrei bisogno di un aiuto per questo problema:

-Scrivere una terna di numeri direttori della retta di $E^3$ ortogonale alla retta
$r: \{(x-y+z=1),(x-2z=0):} $
e parallela al piano $\pi : x-y+z=1$

Ricavando le direzioni $\vecv_r = (-2,3,1)$ mentre $\vecn_pi =(1,-1,1)$
Io avevo pensato a questo ragionamento, devo trovare un vettore direttore $\vecw_s$ della retta $s$ in modo che il prodotto scalare tra $\vecw_s * \vecv_r = 0 $ dato che $\vecw_s$ deve essere parallelo al piano vuol dire che deve essere proporzionale giusto?
Quindi alla fine mi troverei un sistema del tipo
$\{(-2l-3m+n=0),(l-m+n=0):}$ risolvendolo diventa $\{(m=-3n),(l=m-n):}$ e prendendo dei valori scelti ottengo $w_s =(-4,-3,1)$
E facendo il prodotto scalare mi trovo che $<\vecw_s , \vecv_r > = 0 , <\vecw_s , \vecn_pi > = 0$
Concludendo la terna di numeri direttori che soddisfa la richiesta è proprio $(-4,-3,1)$
Il problema è risolto correttamente? Grazie