Nucleo, immagine di applicazione lineare
Calcolare nucleo, immagine e autovettori dell'applicazione lineare:
$f(x,y,z)=(x+2y-z,3x+6y-3z,-2x-4y+2z)$. Per quanto ne so il nucleo è formato dai vettori che hanno immagine nulla. Quindi li ottengo ponendo:
$\{(x+2y-z=0),(3x+6y-3z=0),(-2x-4y+2z=0):}$
che è un sistema formato da equazioni linearmente dipendenti per cui la sua matrice ha rango 1, e 1 è anche la $dim Im(f)$ e quindi la dim del nucleo è 2.
Calcolare il nucleo e l'immagine è equivalente a calcolarne una base? Una base del nucleo posso trovarla ricavando una incognita in funzione di 2 parametri?
Es. da $x+2y-z=0$ ho $\{(x=s-2t),(y=t),(z=s):}$ e assegnando a $s$ e $t$ valori arbitrari ottengo i vettori della base, come $(-2,1,0), (1,0,1)$? e una base dell'immagine potrebbe essere $(1,2,-1)$?
Fino qui può andare, a parte la terminologia approssimativa?
$f(x,y,z)=(x+2y-z,3x+6y-3z,-2x-4y+2z)$. Per quanto ne so il nucleo è formato dai vettori che hanno immagine nulla. Quindi li ottengo ponendo:
$\{(x+2y-z=0),(3x+6y-3z=0),(-2x-4y+2z=0):}$
che è un sistema formato da equazioni linearmente dipendenti per cui la sua matrice ha rango 1, e 1 è anche la $dim Im(f)$ e quindi la dim del nucleo è 2.
Calcolare il nucleo e l'immagine è equivalente a calcolarne una base? Una base del nucleo posso trovarla ricavando una incognita in funzione di 2 parametri?
Es. da $x+2y-z=0$ ho $\{(x=s-2t),(y=t),(z=s):}$ e assegnando a $s$ e $t$ valori arbitrari ottengo i vettori della base, come $(-2,1,0), (1,0,1)$? e una base dell'immagine potrebbe essere $(1,2,-1)$?
Fino qui può andare, a parte la terminologia approssimativa?
Risposte
Per il nucleo va tutto bene. Per l'immagine, io osserverei che
$f(x,y,z)=(x+2y-z) (1,3,-2)$
per cui il vettore $(1,3,-2)$ è una base (e come vedi quello che hai scritto tu non si ottiene da questo moltiplicando con uno scalare). Come ci sei arrivato a quel risultato?
$f(x,y,z)=(x+2y-z) (1,3,-2)$
per cui il vettore $(1,3,-2)$ è una base (e come vedi quello che hai scritto tu non si ottiene da questo moltiplicando con uno scalare). Come ci sei arrivato a quel risultato?
Ho pensato di prendere la prima riga della matrice associata, cioè i coefficienti del primo vettore. Forse dovevo prendere la prima colonna. Comunque in generale, l'esercizio consiste nel trovare una base per Im(f) o non non ho capito niente?
Sì, la richiesta è quella, ma prendere i coefficienti della prima riga non serve a niente. Quelli che devi prendere sono gli elementi di una colonna (come vedi, io ho preso la prima)!
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