Nucleo ed immagine di un'applicazione lineare
Ciao a tutti,
oggi non vi chiedo aiuto per la risoluzione di un esercizio ma per la spiegazione di un concetto che non riesco a capire, ovvero il "famoso" KerT e ImT.
Definizione: Siano V e W due spazi vettoriali e T un'applicazione lineare da V in W. Allora si definisce:
a) Nucelo di T e si indica con kerT l'insieme degli elementi v $in$ V tali che $T(v) = 0_w$ dove $0_w$ è l'elemento neutro di W.
b) Immagine di T, e si indica con ImT, l'insieme degli elementi w $in$ W tali che esiste v $in$ V con T(v) = w.
NB: kerT è sottospazio vettoriale di V mentre ImT è sottospazio vettoriale di W.
La mia domanda è: potete rispiegarmi meglio cosa sono il kerT e ImT, perchè la definizione non chiarisce molto questo concetto nuovo e un po' astratto (per ora).
grazie
oggi non vi chiedo aiuto per la risoluzione di un esercizio ma per la spiegazione di un concetto che non riesco a capire, ovvero il "famoso" KerT e ImT.
Definizione: Siano V e W due spazi vettoriali e T un'applicazione lineare da V in W. Allora si definisce:
a) Nucelo di T e si indica con kerT l'insieme degli elementi v $in$ V tali che $T(v) = 0_w$ dove $0_w$ è l'elemento neutro di W.
b) Immagine di T, e si indica con ImT, l'insieme degli elementi w $in$ W tali che esiste v $in$ V con T(v) = w.
NB: kerT è sottospazio vettoriale di V mentre ImT è sottospazio vettoriale di W.
La mia domanda è: potete rispiegarmi meglio cosa sono il kerT e ImT, perchè la definizione non chiarisce molto questo concetto nuovo e un po' astratto (per ora).
grazie
Risposte
La definizione mi sembra sia, di per sè, abbastanza chiara... cosa esattamente non riesci a capire?
Beh una spiegazione di che cosa sia il Ker o l'Immagine. Non voglio sapere l'utilità perché forse la scoprirò in altri corsi, ora mi interessa solo capire che cosa sia il Ker.
Se bastassero sempre le definizioni sarebbe tutto troppo semplice
Se bastassero sempre le definizioni sarebbe tutto troppo semplice
E' difficile "spiegare meglio" cosa siano il nucleo e l'immagine.
$Ker(T)={v in V | T(v)=0_W}$
E' l'insieme formato da tutti e soli gli elementi di $V$ che hanno come immagine l'elemento neutro di $W$.
$Im(T)={w in W| EE v in V : w=T(v)}$
E' l'insieme formato da tutti e soli gli elementi di $W$ che sono immagine di almeno un elemento di $V$
$Ker(T)={v in V | T(v)=0_W}$
E' l'insieme formato da tutti e soli gli elementi di $V$ che hanno come immagine l'elemento neutro di $W$.
$Im(T)={w in W| EE v in V : w=T(v)}$
E' l'insieme formato da tutti e soli gli elementi di $W$ che sono immagine di almeno un elemento di $V$
Ma vedi, in questo caso non si può spiegare in modo diverso da come è definto, credimi, ti basta la definizione: prendi tutti gli elementi di V che hanno per immagine mediante T l'elemento neutro di W (lo zero di W); questi sono un sottoinsieme di V, che si verifica essere un sottospazio e prende il nome di nucleo.
Per quanto riguarda l'immagine, questa definizione vale in generale per una qualsiasi applicazione, cioe presa $ f:Ararr B $ prendi tutti gli elementi di B che sono immagine di un qualche elemento di A; ottieni un sottoinsieme di B, che coincide con B qualora f sia suriettiva. Spero di aver risposto alla tua domanda.
Per quanto riguarda l'immagine, questa definizione vale in generale per una qualsiasi applicazione, cioe presa $ f:Ararr B $ prendi tutti gli elementi di B che sono immagine di un qualche elemento di A; ottieni un sottoinsieme di B, che coincide con B qualora f sia suriettiva. Spero di aver risposto alla tua domanda.
grazie ad entrambi, la situazione è un pochina più chiara! 
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