Nucleo ed Immagine di una matrice
Salve ragazzi,
a luglio ho l'esame di geometria e algebra lineare e non ho ben capito come si calcola il nucleo e l'immagine di una matrice. Ad esempio ho difficoltà con quest'esercizio:
Esercizio 1
Sia f : R4 in R4 l'applicazione lineare dipendente da un parametro $ Lambda $ appartiene R seguente:
f: $ ( ( x1 ),( x2 ),( x3 ),( x4 ) ) $ = $ ( ( 1 , 2 , -1 , lambda ),( 1 , 1 , -1 , 1 ),( 2 , lambda , -2 , 2 ),( 2 , 1 , -lambda , 1 ) ) $
a) dire per quali valori di $ lambda $ il nucleo è diverso da 0
Per un valore di $ lambda $ scelto a piacere fra quelli trovati al punto a), determinare:
b) una base del nucleo di f.
c) una base dell'immagine di f.
d) dire se il vettore v = trasporta(1; 1; 2; 2) e nell'immagine di f
Spero che qualcuno possa aiutarmi a capire come procedere =S
se non ho capito male, l'immagine della matrice si ha quando le colonne sono indipendenti (ovvero mi calcolo il determinate e vedo se è oppure no diverso da zero) e la sua dimensione è pari (nella maggior parte dei casi) al rango, la dimensione del nucleo si applica il teorema delle dimensioni.
Il concetto in pratica ce l'ho, quel che non riesco a capire è lo svolgimento dell'esercizio. Come faccio a determinarmi la base del nucleo e quella dell'immagine? =/
a luglio ho l'esame di geometria e algebra lineare e non ho ben capito come si calcola il nucleo e l'immagine di una matrice. Ad esempio ho difficoltà con quest'esercizio:
Esercizio 1
Sia f : R4 in R4 l'applicazione lineare dipendente da un parametro $ Lambda $ appartiene R seguente:
f: $ ( ( x1 ),( x2 ),( x3 ),( x4 ) ) $ = $ ( ( 1 , 2 , -1 , lambda ),( 1 , 1 , -1 , 1 ),( 2 , lambda , -2 , 2 ),( 2 , 1 , -lambda , 1 ) ) $
a) dire per quali valori di $ lambda $ il nucleo è diverso da 0
Per un valore di $ lambda $ scelto a piacere fra quelli trovati al punto a), determinare:
b) una base del nucleo di f.
c) una base dell'immagine di f.
d) dire se il vettore v = trasporta(1; 1; 2; 2) e nell'immagine di f
Spero che qualcuno possa aiutarmi a capire come procedere =S
se non ho capito male, l'immagine della matrice si ha quando le colonne sono indipendenti (ovvero mi calcolo il determinate e vedo se è oppure no diverso da zero) e la sua dimensione è pari (nella maggior parte dei casi) al rango, la dimensione del nucleo si applica il teorema delle dimensioni.
Il concetto in pratica ce l'ho, quel che non riesco a capire è lo svolgimento dell'esercizio. Come faccio a determinarmi la base del nucleo e quella dell'immagine? =/
Risposte
Nessuno può aiutarmi? 
Dopo una settimana di supposizioni forse e dico forse ho capito come fare, ditemi se procedo bene :
Procedimenti:
a) dire per quali valori di $ lambda $ il nucleo è diverso da 0
Posso calcolarmi i valori di $ lambda $ o trovando il determinante con Laplace oppure usando il metodo di Gauss.
Applicando Gauss, una volta ridotta la matrice associata mi esce questa:
$ ( ( 1 , 2 , -1 , lambda ),( 0 , (1-lambda ) , (-2-lambda ) , -1 ),( 0, -2 , 0 , 2(1-lambda ) ),( 0 , (lambda -2) , 0 , 0 ) ) $
non sono riuscita a ridurla più di questo, quindi mi trovo che il nucleo è diverso da zero per:
$ lambda != -2 $
$ lambda != 1 $
$ lambda != 2 $
Per un valore di $ lambda $ scelto a piacere fra quelli trovati al punto a), determinare:
b) una base del nucleo di f.
mi sono svolta il sistema ed esce che :
$ x{::}_(\ \ 1)^() text()= x {::}_(\ \ 3)^() text() $
$ x{::}_(\ \ 2)^() text()= -x {::}_(\ \ 4)^() text() $
ipotizzo poi che $ x{::}_(\ \ 3)^() text()= t{::}_(\ \ 1) $ e $ x{::}_(\ \ 4)^() text()= t{::}_(\ \ 2) $
facendo risultare una volta $ t{::}_(\ \ 1)^() text()= 0 $ e $ t{::}_(\ \ 2)^() text()= 1 $ e viceversa mi esce che le due basi del nucleo sono=
$ v= (1,0,1,0) $
$ w=(0,1,0,-1) $
c) una base dell'immagine di f.
sempre per $ lambda =2 $ sostituisco il 2 nella matrice precedentemente ridotta:
$ ( ( 1 , 2 , -1 , 2 ),( 0 , -1 , -4 , -1 ),( 0 , -2 , 0 , -2 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $
riduco ancora facendo la 3°riga meno la 2°
$ ( ( 1 , 2 , -1 , 2 ),( 0 , -1 , -4 , -1 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $
l'immagine ha dimensione 2, ma qual è la base? non riesco a determinare quella
Procedimenti:
a) dire per quali valori di $ lambda $ il nucleo è diverso da 0
Posso calcolarmi i valori di $ lambda $ o trovando il determinante con Laplace oppure usando il metodo di Gauss.
Applicando Gauss, una volta ridotta la matrice associata mi esce questa:
$ ( ( 1 , 2 , -1 , lambda ),( 0 , (1-lambda ) , (-2-lambda ) , -1 ),( 0, -2 , 0 , 2(1-lambda ) ),( 0 , (lambda -2) , 0 , 0 ) ) $
non sono riuscita a ridurla più di questo, quindi mi trovo che il nucleo è diverso da zero per:
$ lambda != -2 $
$ lambda != 1 $
$ lambda != 2 $
Per un valore di $ lambda $ scelto a piacere fra quelli trovati al punto a), determinare:
b) una base del nucleo di f.
mi sono svolta il sistema ed esce che :
$ x{::}_(\ \ 1)^() text()= x {::}_(\ \ 3)^() text() $
$ x{::}_(\ \ 2)^() text()= -x {::}_(\ \ 4)^() text() $
ipotizzo poi che $ x{::}_(\ \ 3)^() text()= t{::}_(\ \ 1) $ e $ x{::}_(\ \ 4)^() text()= t{::}_(\ \ 2) $
facendo risultare una volta $ t{::}_(\ \ 1)^() text()= 0 $ e $ t{::}_(\ \ 2)^() text()= 1 $ e viceversa mi esce che le due basi del nucleo sono=
$ v= (1,0,1,0) $
$ w=(0,1,0,-1) $
c) una base dell'immagine di f.
sempre per $ lambda =2 $ sostituisco il 2 nella matrice precedentemente ridotta:
$ ( ( 1 , 2 , -1 , 2 ),( 0 , -1 , -4 , -1 ),( 0 , -2 , 0 , -2 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $
riduco ancora facendo la 3°riga meno la 2°
$ ( ( 1 , 2 , -1 , 2 ),( 0 , -1 , -4 , -1 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $
l'immagine ha dimensione 2, ma qual è la base? non riesco a determinare quella
Ti basta prendere i vettori colonna della matrice di partenza corrispondenti ai pivot non nulli. In questo caso dovrebbe essere:
$Img(f) = <(1,1,2,2),(2,1,2,1)>$ , nel caso in cui \(\displaystyle \lambda = 2 \)
$Img(f) = <(1,1,2,2),(2,1,2,1)>$ , nel caso in cui \(\displaystyle \lambda = 2 \)
quindi riduco per righe come ho fatto, vedo se le colonne sono indipendenti e prendo quelle della matrice originaria? 
Puoi procedere in due modi:
- Riduci per righe e prendi le colonne della matrice di partenza corrispondenti ai pivot non nulli. In questo caso il primo e il secondo pivot erano $!=0$, abbiamo preso la prima e la seconda colonna della matrice di partenza.
- Trasponi la matrice di partenza, la riduci per righe e prendi le righe non nulle della matrice trasposta.
Ci sarebbe anche il metodo della riduzione per colonne, ma personalmente lo trovo poco intuitivo...
- Riduci per righe e prendi le colonne della matrice di partenza corrispondenti ai pivot non nulli. In questo caso il primo e il secondo pivot erano $!=0$, abbiamo preso la prima e la seconda colonna della matrice di partenza.
- Trasponi la matrice di partenza, la riduci per righe e prendi le righe non nulle della matrice trasposta.
Ci sarebbe anche il metodo della riduzione per colonne, ma personalmente lo trovo poco intuitivo...
perfetto 
ho capito finalmente!
grazie mille
ho capito finalmente!grazie mille
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