Nucleo ed Immagine Applicazione lineare
Salve!
"Avendo la funzione $f : R^3--->R^4$ individuata dalla matrice $A=((0,1,1,h),(1,-1,0,-1),(1,0,1,0))$, determinare una base del $N(f)$ e del $Im(f)$ al variare di $h$".
Io ho calcolato dapprima la $dim(Im(f))$ tramite il $rg(A)$, ed ho che per $h=1$ $dim(Im(f))=2$ e $dim(N(f))=2$, mentre per $h!=0$ $dim(Im(f))=3$ e $dim(N(f))=1$. Per calcolarmi una base per il $N(f)$ ho imposto il sistema omogeneo associato alla base del $Im(f)$, il problema è che per $h=0$ mi trovo che le soluzioni del sistema omogeneo associato al $Im(f)$ sono uguali al vettore nullo. Come è possibile??
Gentilmente qualcuno potrebbe indicarmi come procedere correttamente?
Grazie!
"Avendo la funzione $f : R^3--->R^4$ individuata dalla matrice $A=((0,1,1,h),(1,-1,0,-1),(1,0,1,0))$, determinare una base del $N(f)$ e del $Im(f)$ al variare di $h$".
Io ho calcolato dapprima la $dim(Im(f))$ tramite il $rg(A)$, ed ho che per $h=1$ $dim(Im(f))=2$ e $dim(N(f))=2$, mentre per $h!=0$ $dim(Im(f))=3$ e $dim(N(f))=1$. Per calcolarmi una base per il $N(f)$ ho imposto il sistema omogeneo associato alla base del $Im(f)$, il problema è che per $h=0$ mi trovo che le soluzioni del sistema omogeneo associato al $Im(f)$ sono uguali al vettore nullo. Come è possibile??
Gentilmente qualcuno potrebbe indicarmi come procedere correttamente?
Grazie!
Risposte
Hai sbagliato ad applicare il teorema delle dimensioni : se $ f: V rarr W $ allora $dim (kerf ) +dim(Imf )=dim V $ ( e non $dim W$).
Per $h=1$ ,r(A)=2 ,$dim(Imf )=2 ; dim(ker f)=3-2=1 $
per $h ne 1$, r(A) =3, $dim (Imf)=3 : dim(ker f )= 0 $ trasformazione iniettiva !! ecco perchè ottieni il vettore nullo .
Per $h=1$ ,r(A)=2 ,$dim(Imf )=2 ; dim(ker f)=3-2=1 $
per $h ne 1$, r(A) =3, $dim (Imf)=3 : dim(ker f )= 0 $ trasformazione iniettiva !! ecco perchè ottieni il vettore nullo .
Ah!..scusami ma avevo sbagliato a scrivere è $f : R^4--->R^3$ ^^
ok , però le soluzioni del sistema omogeneo con $h=0 $ danno questo vettore soluzione , sottospazio di dimensione 1
$ker f = (x,x,-x,0)$ con una base ad es. $(1,1,-1,0)$.
$ker f = (x,x,-x,0)$ con una base ad es. $(1,1,-1,0)$.
il problema è per $h=1$...
"Camillo":
ok , però le soluzioni del sistema omogeneo con $h=0 $ danno questo vettore soluzione , sottospazio di dimensione 1
$ker f = (x,x,-x,0)$ con una base ad es. $(1,1,-1,0)$.
Potresti dirmi quali sono le equazioni che ti trovi con il sistema omogeneo associato per $h=0$?
NUCLEO
Per $h=0 $ ho il sistema seguente
$y+z=0$
$x-y-t=0$
$x+z=0$
da cui
$z=-y; z=-x ; rarr x=y ; t=0$ e quindi la soluzione è $(x,x,-x,0)$.
Per $h= 1$ si ha che $dim ker f = 4-2=2 $ e il sistema è
$ y+z+t=0$
$x-y-t=0$
$x+z=0$
da cui
$ z=-x; y=-t+x $ equindi la soluzione è $( x,x-t,-x,t)$ sottospazio di dimensione 2 .
Per $h=0 $ ho il sistema seguente
$y+z=0$
$x-y-t=0$
$x+z=0$
da cui
$z=-y; z=-x ; rarr x=y ; t=0$ e quindi la soluzione è $(x,x,-x,0)$.
Per $h= 1$ si ha che $dim ker f = 4-2=2 $ e il sistema è
$ y+z+t=0$
$x-y-t=0$
$x+z=0$
da cui
$ z=-x; y=-t+x $ equindi la soluzione è $( x,x-t,-x,t)$ sottospazio di dimensione 2 .
Perfetto! Grazie mille! 
Di nulla !
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