Nucleo ed autovettori di applicazione composta
Carissimi, riguardando un esercizio svolto, ho trovato difficoltà nel capire una conclusione.
Siano dati due endomorfismi $ T_a $ e $ T_b $ entrambi di $ RR^n $.
Essi sono individuati dalle matrici quadrate $ A $ e $ B $ di ordine $ n $.
Si suppone che ogni autovettore di $ T_a $ lo è anche per $ T_b ° T_a $.
Domande:
1) Che legame hanno gli autovettori di $ T_a $ e $ T_b $
2) Se è diagonalizzabile $ A $ lo è anche $ B $?
Supposto che $ X_0 $ sia un autovettore di $ T_a $ si ricava subito il legame ma occorre precisare che il ragionamento vale per tutti gli autovalori tranne che per quello nullo.
Qualora quest'ultimo fosse pari a 0 potremmo dire che l'autovettore corrispondente appartiene sia al
$ Ker T_a $ che a quello di $ T_b ° T_a $ ma non possiamo dire nulla sul fatto che sia anche autovettore di $ T_b $.
Questo fatto (il non potersi esprimere ) non mi è molto chiaro.
Mi aiutate a chiarire il concetto?
Un saluto ed un grazie a tutti
A.
Siano dati due endomorfismi $ T_a $ e $ T_b $ entrambi di $ RR^n $.
Essi sono individuati dalle matrici quadrate $ A $ e $ B $ di ordine $ n $.
Si suppone che ogni autovettore di $ T_a $ lo è anche per $ T_b ° T_a $.
Domande:
1) Che legame hanno gli autovettori di $ T_a $ e $ T_b $
2) Se è diagonalizzabile $ A $ lo è anche $ B $?
Supposto che $ X_0 $ sia un autovettore di $ T_a $ si ricava subito il legame ma occorre precisare che il ragionamento vale per tutti gli autovalori tranne che per quello nullo.
Qualora quest'ultimo fosse pari a 0 potremmo dire che l'autovettore corrispondente appartiene sia al
$ Ker T_a $ che a quello di $ T_b ° T_a $ ma non possiamo dire nulla sul fatto che sia anche autovettore di $ T_b $.
Questo fatto (il non potersi esprimere ) non mi è molto chiaro.
Mi aiutate a chiarire il concetto?
Un saluto ed un grazie a tutti
A.
Risposte
$Ax_0=lambda_0x_0$ per ipotesi
$BAx_0=lambda_0Bx_0=lambda_0gamma_0x_0=mu_0x_0$ per ipotesi
Se $lambda_0=0$, allora $BAx_0=vec(0)=Bvec(0)$
Che ne pensi? Possiamo dire qualcosa su $Bx_0$?
$BAx_0=lambda_0Bx_0=lambda_0gamma_0x_0=mu_0x_0$ per ipotesi
Se $lambda_0=0$, allora $BAx_0=vec(0)=Bvec(0)$
Che ne pensi? Possiamo dire qualcosa su $Bx_0$?
Grazie innanzitutto per la risposta.
Quindi in realtà il fatto che l'autovalore nullo garantisca l'appartenenza dell'autovettore corrispondente al $ ker T_a $ e che comunque ci permette di dire che quest'ultimo appartiene anche al $ Ker T_b°T_a $,
non ci consente comunque di affermare che sia parimenti autovettore di $ T_b $.
Potrebbe essere corretto?(dalla espressione analitica non riusciamo a desumerne nulla).
Quindi in realtà il fatto che l'autovalore nullo garantisca l'appartenenza dell'autovettore corrispondente al $ ker T_a $ e che comunque ci permette di dire che quest'ultimo appartiene anche al $ Ker T_b°T_a $,
non ci consente comunque di affermare che sia parimenti autovettore di $ T_b $.
Potrebbe essere corretto?(dalla espressione analitica non riusciamo a desumerne nulla).
"Gandalf73":
Grazie innanzitutto per la risposta.
Quindi in realtà il fatto che l'autovalore nullo garantisca l'appartenenza dell'autovettore corrispondente al $ ker T_a $ e che comunque ci permette di dire che quest'ultimo appartiene anche al $ Ker T_b°T_a $,
non ci consente comunque di affermare che sia parimenti autovettore di $ T_b $.
No.
Se x è un autovettore di $T_a$ legato all'autovalore 0, allora appartiene al $Ker(T_a)$ e manda tutti i vettori del suo kernel nel vettore nullo. Una seconda applicazione manda il vettore nullo in se, questo non ci dice nulla perchè tutte le fanno.
E' facile costruire un esempio. La prima cosa che mi viene in mente è prendere due piani perpendicolari in $RR^3$ e da essi costruire due applicazioni, entrambe proiezioni ortogonali sui rispettivi piani.
$T_a$ manda i vettori di $RR^3$ sul primo piano e $T_b$ sul secondo piano. Poi prendiamo come autovettore x il vettore perpendicolare al primo piano, quindi è legato all'autovalore 0.
x è anche autovettore di $T_b$, legato all'autovalore 1.
Riassumendo, abbiamo una situazione in cui effettivamente accade ciò che vorresti che accadesse.
Ora prendi due piani non perpendicolari...
P.S. Sono certo che non sia necessario, ma, meglio specificarlo, i piani devono passare per l'origine altrimenti gli autospazi non sarebbero spazi vettoriali.
Complimenti per l'esempio davvero illuminante!
Accade cioè che gli autovalori sono diversi pur avendo la situazione che si descriveva prima.
Se invece i piani sono non perpendicolari l'autovalore di $ T_b $ sarà sempre diverso da 1 in concomitanza dell'autovalore pari a 0 di $ T_a $ dico bene?
Un saluto ed un grazie
A.
Accade cioè che gli autovalori sono diversi pur avendo la situazione che si descriveva prima.
Se invece i piani sono non perpendicolari l'autovalore di $ T_b $ sarà sempre diverso da 1 in concomitanza dell'autovalore pari a 0 di $ T_a $ dico bene?
Un saluto ed un grazie
A.
"Gandalf73":
Complimenti per l'esempio davvero illuminante!
Accade cioè che gli autovalori sono diversi pur avendo la situazione che si descriveva prima.
Riassumiamo un attimo il caso specifico che stiamo analizzando.
L'autovalore corrispondente all'autovettore x di $T_a$ e $Ta_b@T_a$ è pari a 0.
x potrebbe essere autovettore di $T_b$ oppure no.
Primo caso: le due applicazioni sono matrici di proiezione ortogonale su due piani perpendicolari e x è il vettore perpendicolare al primo piano. In questo caso sia $T_a$ che $Ta_b@T_a$ hanno come autovalore associato ad x lo zero, perchè è nel kernel di entrambe. Anche $T_b$ ha come autovettore x (ma solo perchè lo sappiamo per costruzione!) associato all'autovalore 1.
"Gandalf73":
Se invece i piani sono non perpendicolari l'autovalore di $ T_b $ sarà sempre diverso da 1 in concomitanza dell'autovalore pari a 0 di $ T_a $ dico bene?
No!
In questo caso (sempre per costruzione) sappiamo che x NON è un autovettore di $T_b$!
Costruisco un esempio immediato. La matrice di proiezione ortogonale sul piano $z=0$ (ovvero il piano XY) è:
$ T_a=( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $ E' evidente che il vettore $x=(0,0,1)$ è una base del suo kernel, quindi è un autovettore associato all'autovalore 0. Per cui $T_a(x)=0x={0}$
La matrice di proiezione ortogonale sul piano $x-z=0$ è:
$ T_b= ( ( 1/2 , 0 , 1/2 ),( 0 , 1 , 0 ),( 1/2 , 0 , 01/2 ) ) $ e $T_b(x)=1/2( 1 , 0 , 1 )!=lambda(0,0,1)$ quindi x NON è un autovettore di $T_b$.
Infine $ Ta_b@T_a=( ( 1/2 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 1/2 , 0 , 0 ) ) $ e $ Ta_b@T_a(x)=0x={0}$ quindi il vettore x è nel suo kernel ed è un autovettore associato all'autovalore zero.
Questo soddisfa tutte le condizioni del problema iniziale.
Chiedevi:
"Gandalf73":
Supposto che $ X_0 $ sia un autovettore di $ T_a $ si ricava subito il legame ma occorre precisare che il ragionamento vale per tutti gli autovalori tranne che per quello nullo.
Qualora quest'ultimo fosse pari a 0 potremmo dire che l'autovettore corrispondente appartiene sia al
$ Ker T_a $ che a quello di $ T_b ° T_a $ ma non possiamo dire nulla sul fatto che sia anche autovettore di $ T_b $.
Questo fatto (il non potersi esprimere ) non mi è molto chiaro.
Mi aiutate a chiarire il concetto?
Dall'esempio appena dato, puoi vedere che in generale NON possiamo dire nulla sul fatto che sia anche autovettore di $ T_b $. Può darsi di SI e può darsi di NO...servono informazioni aggiuntive sulle applicazioni in questione.
Ti ringrazio per l'illuminante esempio che mi ha chiarito in toto la cosa.
Oltretutto l'applicazione lineare "proiezione ortogonale" ha solo due possibili autovettori (credo) quello "parallelo" e quello "ortogonale", i cui autovalori sono rispettivamente 1 e 0, con la loro rispettiva molteplicità.Sarebbe stato difficile trovare un esempio migliore
.
A.
Oltretutto l'applicazione lineare "proiezione ortogonale" ha solo due possibili autovettori (credo) quello "parallelo" e quello "ortogonale", i cui autovalori sono rispettivamente 1 e 0, con la loro rispettiva molteplicità.Sarebbe stato difficile trovare un esempio migliore
.A.
"Gandalf73":
Ti ringrazio per l'illuminante esempio che mi ha chiarito in toto la cosa.
Oltretutto l'applicazione lineare "proiezione ortogonale" ha solo due possibili autovettori (credo) quello "parallelo" e quello "ortogonale", i cui autovalori sono rispettivamente 1 e 0, con la loro rispettiva molteplicità.Sarebbe stato difficile trovare un esempio migliore
A.
Grazie
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