Nucleo e immagine di un'applicazione lineare
Non riesco a capire quando un'applicazione lineare è suriettiva o iniettiva. Per riguardare l'argomento nel suo complesso posto un esercizio che spero sappiate risolvere:
Sia f: R^3 --> R^3, con f(x,y,z) = (2x+y+z, x+y+kz, 5x+(k+2)y+3z).
1) Determinare, al variare di k, dim(ker f), dim(im f), e se la f sia iniettiva e/o suriettiva.
2) Assegnare a k un valore tale che f NON sia suriettiva e dire in quel caso se f sia semplice.
ps: del punto 2 mi interessa principalmente sapere il valore di k per cui la f non è suriettiva
Sia f: R^3 --> R^3, con f(x,y,z) = (2x+y+z, x+y+kz, 5x+(k+2)y+3z).
1) Determinare, al variare di k, dim(ker f), dim(im f), e se la f sia iniettiva e/o suriettiva.
2) Assegnare a k un valore tale che f NON sia suriettiva e dire in quel caso se f sia semplice.
ps: del punto 2 mi interessa principalmente sapere il valore di k per cui la f non è suriettiva
Risposte
Penso che tu non abbia nemmeno sfiorato la teoria. Infatti non esistono definizioni più semplici di queste.
$f$ è iniettiva se e solo se $Ker f =\{0\}$ ( e il $Ker$ è una vera cavolata da calcolarsi)
$f$ è suriettiva se e solo se $Im f = W$ (dove $W$ è il codominio).
In più, c'è il teorema del rango.
Inoltre le colonne della matrice associata generano l'immagine dell'applicazione.
Paola
$f$ è iniettiva se e solo se $Ker f =\{0\}$ ( e il $Ker$ è una vera cavolata da calcolarsi)
$f$ è suriettiva se e solo se $Im f = W$ (dove $W$ è il codominio).
In più, c'è il teorema del rango.
Inoltre le colonne della matrice associata generano l'immagine dell'applicazione.
Paola
La teoria, invece, l'ho studiata e so che f è iniettiva se dim(ker f) =0...mentre continuo a non capire quando è suriettiva o non lo è. Per questo ho postato questo esercizio, così da vedere la teoria nella pratica. Ho utilizzato la base canonica per trovare la matrice associata. La matrice è una 3x3. Poi ho preceduto con l'eliminazione di Gauss fino ad ottenere una matrice di rango 3 di questo tipo:
|2 1 1 |
|0 1\2 k-1\2 |
|0 0 2k-2k^2|
Dopodichè ho stabilito i casi, ovvero: ho posto 2k-2k^2 = 0 trovando i seguenti valori: k=0 v k=1, quindi:
a) se k=0 v k=1 ---> r(A)=2 ---> dim (im f) = 2, dim(ker f)= 1...(questa cos'è?? non è iniettiva ma è suriettiva? primo dubbio)
b) se k diverso da 0 e 1 ---> r(A)=3 ---> dim(im f)=3, dim(ker f)=0 ---> f è iniettiva e suriettiva ?
Infine...qual'è sto valore per cui la f NON sia suriettiva?
|2 1 1 |
|0 1\2 k-1\2 |
|0 0 2k-2k^2|
Dopodichè ho stabilito i casi, ovvero: ho posto 2k-2k^2 = 0 trovando i seguenti valori: k=0 v k=1, quindi:
a) se k=0 v k=1 ---> r(A)=2 ---> dim (im f) = 2, dim(ker f)= 1...(questa cos'è?? non è iniettiva ma è suriettiva? primo dubbio)
b) se k diverso da 0 e 1 ---> r(A)=3 ---> dim(im f)=3, dim(ker f)=0 ---> f è iniettiva e suriettiva ?
Infine...qual'è sto valore per cui la f NON sia suriettiva?
Ricordiamo la definizione. Una funzione è surgettiva quando l'immagine è tutto il codominio. Ogni matrice 3x3 è vista come un applicazione da R3 a R3. Quindi devi dimostrare che l'immagine della matrice A, cioè lo Span delle colonne di A, è tutto $R^3$.
Diciamolo meglio: le colonne devono essere una base di R3. Il numero di colonne è 3 e ci siamo, la dimensione è quella giusta. Cosa manca per dire "è una base"?
Diciamolo meglio: le colonne devono essere una base di R3. Il numero di colonne è 3 e ci siamo, la dimensione è quella giusta. Cosa manca per dire "è una base"?
Sarò ritardato ma continuo a non capire, vorrei solo che qualcuno sia così cortese da completare ciò che ho detto e scritto nell'esercizio. Ho bisogno di un esempio numerico per capire. Grazie
perchè f sia surgettiva occorre che L'IMMAGINE di f abbia DIMENSIONE uguale a quella del codominio (quindi la dimensione dell'immagine è deve essere 3).
L'immagine di una matrice è l'insieme delle combinazioni lineari delle colonne di quella matrice*. Questo significa
che se vuoi che f sia suriettiva devi imporre che abbia tre colonne linearmente indipendenti.**
Nel tuo caso significa che devi cercare tutti i k tali che quelle tre colonne sono linearmente indipendenti.
PS.* Per definizione se A è una matrice, Im A = {(x,y,z) tali che ESISTE A(x',y',z')=(x,y,z). Fa un esempio con una matrice 3x3: se calcoli A(x',y',z') ti viene complessivamente una combinazione lineare delle colonne di A!
$Im ((2,1),(1,0))=((2,1),(1,0))((x_1),(x_2)), \forall x_1,x_2\in R = x_1((2),(1))+x_2((1),(0))=$Span delle colonne della matrice...
** Infatti se le tre colonne sono linearmente indipendenti lo span delle colonne di A (che sono 3) genera tutto R^3 e quindi l'immagine è uguale al codominio
L'immagine di una matrice è l'insieme delle combinazioni lineari delle colonne di quella matrice*. Questo significa
che se vuoi che f sia suriettiva devi imporre che abbia tre colonne linearmente indipendenti.**
Nel tuo caso significa che devi cercare tutti i k tali che quelle tre colonne sono linearmente indipendenti.
PS.* Per definizione se A è una matrice, Im A = {(x,y,z) tali che ESISTE A(x',y',z')=(x,y,z). Fa un esempio con una matrice 3x3: se calcoli A(x',y',z') ti viene complessivamente una combinazione lineare delle colonne di A!
$Im ((2,1),(1,0))=((2,1),(1,0))((x_1),(x_2)), \forall x_1,x_2\in R = x_1((2),(1))+x_2((1),(0))=$Span delle colonne della matrice...
** Infatti se le tre colonne sono linearmente indipendenti lo span delle colonne di A (che sono 3) genera tutto R^3 e quindi l'immagine è uguale al codominio
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